不定积分的基本公式和运算法则直接积分法.pdf

.复习复习1原函数的定义。2不定积分的定义。3不定积分的性质。4不定积分的几何意义。引入引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。讲授新课讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算 直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：12345导数公式微分公式积分公式(kx)k1(x2)x211()2xxd(kx)kdx1d(x2)xdx211d()2dxxxkdxkxC(k 0)12x C211dx Cx2xxdx 1x(lnx)d(ln x)1dxx1xdx ln x Cx1()x1x1d()xdx1x1x dx 1 C(1)6789101(cotx)csc2x(ex)ex(ax)axln ad(ex)exdxd(ax)axdxln axxe dx e Cxa dx ax Cln a(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2xdxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxcosxdx sin x CsinxdxcosxCcos12xdxsec2xdxtanxCd(cotx)csc2xdx12sin2xdxcsc xdxcotxC.s.112131415(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdxsecxtanxdx secxCcscxcotxdxcscxC11 x2dx arctan x C11 x2(csc x)csc xcot xd(cscx)cscxcotxdx(arctan x)11 x211 x2d(arctanx)1dx1 x211 x2(arcsin x)d(arcsin x)dxdx arcsin x C以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例 1.求下列不定积分.（1）解：（1）x12dx（2）x xdx1x2dxx2dx 5x211 C C2 1x35（2）x xdxx2dx 2x2 C此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。二不定积分的基本运算法则法则 1两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx法则 1 对于有限多个函数的和也成立的法则 2被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即kf(x)dx kf(x)dx（k 0）例 2求(2x 1e)dx.s.3x.解=3xx3=2+-(2x 1e)dxx dxdxedx14x xexC。2注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。注检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于(x xe C)=2x 1e，所以结果是正确的。三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。例 3求下列不定积分.2（1）(x 1)(x 1)dx（2）x 1dx2124x3xxx 1解：（1）首 先 把 被 积 函 数(x 1)(x 1)化 为 和 式，然 后 再 逐 项 积 分 得x(x 1)(x 1)dxx(xx x 1 1)dxxxxdx xdx dx 1dxx125122xx x 2x2 C。52注：（1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可。（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。x21x2122dx(1（2）2dxx21)dxx 1x21.s.dx 2dx x 2arctan x C。x21上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。x33x22x4dx，2练习1x2124x2x21x4x2(x21)dx，31 x2dx。答案1x23x2ln|x|C，2arctan x 31C，x13x xarctanxC3例 4求下列不定积分.（1）tan2xdx（2）sin2xdx2解：（1）tan2xdx (sec2x1)dxsec2xdxdx tan x xC（2）sin2xdx 21 cos x11dx x sin x C222上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。练习1222coscot xdxxcos2xdx3dx2cosx-sinx答案1cotx xC23sin x-cos xC1(xsin x)C2例 5设f(sin x)cos x，求f(x).解：由于f(sin x)cos x 1sin x，所以f(x)1 x，故知f(x)是1 x的原函数，因此22222x2f(x)(1 x)dx x C2小结基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习求下列不定积分.（1）(12sin x)dx（2）(2x12)dx，22cos xsin x.s.(t 1)223)dt，dt，（3）（4）(（5）(6x x6)dx，2t1t21tx41cos2xdx（6），（7），（8）dx，csc(cscx cot x)dx221 xsin x2extt22xx（9）(cos sin)dt，（10）(tan x 1)dx，（11）e(3)dx。2221x答案 1x2cosx2ln|x|C，2tan x-cot xC，312t 2t ln|t|C，42arcsin t3arctan tC，26x171x C，6x3 xC，5ln6737cot xcscxC，8cot x2C，(3e)x2arcsin xC。9t cost C，10tan x2xC，111ln3小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理然后分项计算作业P81:2,3板书设计一 基本公式三 直接积分法例 3例 1例 4二 不定积分的法则例 5例 2练习小结作业.s.