二次函数的区间最值问题.pdf

.二次函数最值问题二次函数最值问题二次函数y ax bxc(a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a 0时，24acb2bb函数在x 处取得最小值，无最大值；当时a 0，函数在x 处取得4a2a2a4acb2最大值，无最小值4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。2.动轴定区间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。【例【例 1 1】当2 x 2时，求函数y x 2x3的最大值和最小值分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目，只需要画出函数图像即可以分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目，只需要画出函数图像即可以解决。解决。【例【例 2 2】当t x t 1时，求函数y 2125x x的最小值(其中t为常数)22分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于x所给的范围随着所给的范围随着t的变化而变化，所以的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置需要比较对称轴与其范围的相对位置解：解：函数y 125x x的对称轴是x 1。画出其草图。22125t t；22(2)当对称轴在所给范围之间即t 1 t 1 0t 1时；当x 1时，15ymin121 3；22(3)当对称轴在所给范围右侧即t 11t 0时，当x t 1时，1512ymint 1t 1t23.222(1)当对称轴在所给范围左侧即t 1时；当x t时，ymin.综上所述：ymin 122t 3,t 03,0 t 1。15 t2t,t 122【例【例 3 3】设二次函数fx x22ax1a在区间0,1上的最大值为 2，求实数a的值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随a的变化而变化，所以的变化而变化，所以需要讨论函数对称轴与其范围的相对位置。需要讨论函数对称轴与其范围的相对位置。解：解：函数fx x22ax1a的对称轴是x a。当对称轴在所给范围左侧，即a 0时，当x 0时，fxmax1a，此时，1a 2 a 1；当对称轴在所给范围中间，即0 a 1时，当x a时，fxmax a22a21a a2a1，此时，a2a1 2 a 此时0 a 1，所以此时a无解；13，因为22当对称轴在所给范围右侧，即a 1时，当x 1时，fxmax 1 2a11 2a1，2此时，2a1 2 a 3；23.2综上所述，a 1或a.