一元二次方程根的分布问题、恒成立问题.pdf
一、1、知识要点利用与韦达定理研究axax b bx x c c 0 0(a a 0 0)的根的分布2 21）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 b2 4ac 0bx1 0,x2 0，则x1 x2 0acx x 012a b2 4ac 0bx1 0,x2 0，则x1 x2 0acx x 012a2、cx1 0 x2，则 0a借助函数图像研究axax b bx x c c 0 0(a a 0 0)的根的分布2设一元二次方程设一元二次方程ax bx c 0（a 0）的两实根为的两实根为x1，x2，且且x1 x2。k为常数。为常数。则一元二次方则一元二次方2 2程根的程根的k分布（即分布（即x1，x2相对于相对于k的位置）有以下若干定理。的位置）有以下若干定理。yf(k)0ya 0 x b2ax2kx1Ox2xkx1Ox b24ac 0【定理【定理1 1】k x1 x2，则af(k)0b k2aya 0bx 2af(k)0a 0yf(k)0 x Ob2ax1Ox2kxx1x2kx b24ac 0【定理【定理2 2】x1 x2 k，则af(k)0b k2abx 2aa 0f(k)0【定理【定理3 3】x1 k x2af(k)0ya 0yf(k)0 x2x1Okx2xx1Okxf(k)0a 0【定理【定理4 4】有且仅有】有且仅有k1 x1（或（或x2）k2f(k1)f(k2)0yf(k1)0a 0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0a 0f(k2)0a 0a 0f(k)0f(k)011【定理【定理5 5】k1 x1 k2 p1 x2 p2f(k2)0或或f(k2)0f(p)0f(p)011f(p2)0f(p2)02 b 4ac 0 b2 4ac 0a 0a 0【定理【定理6 6】k1 x1 x2 k2，则f(k1)0或或f(k1)0f(k)0f(k)022bbk kk k21212a2ayf(k1)0a 0f(k2)0 x2k2yk1x b2ak2Ok1x1xOx1f(k1)0 x2xbx 2af(k2)0a 0二、典型例题例1若一元二次方程(m 1)x 2(m 1)x m 0有两个正根，求m的取值范围。分析：利用与韦达定理研究axax b bx x c c 0 0(a a 0 0)的根的分布2 22 b2 4ac 0bx1 0,x2 0，则x1 x2 0acx x 012a2例2k在何范围内取值，一元二次方程kx 3kx k 3 0有一个正根和一个负根分析：利用x1 0 x2，则c 0a2kx (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正根还是负根例3 若一元二次方程分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为 5/30,所以另一根为正例4.方程x+2px+1=0 有一个根大于 1，一个根小于 1，求p的取值范围分析：利用x1 k x2af(k)0例5.若关于x的方程x+(k-2)x+2k-1=0 的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围利用零点存在定理练习1.方程mx+2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根，求 m的取值范围练习2若关于x的方程kx-(2k+1)x-3=0 在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求 k的取值范围不等式的恒成立不等式的恒成立,能成立能成立,恰成立等问题恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).1).恒成立问题恒成立问题若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax B如（如（1 1）设实数x,y满足x(y 1)1，当x y c 0时，c的取值范围是 _222222（答：2 1,）；（2 2）不等式x 4 x 3 a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 _（答：a 1）；（3 3）若不等式2x1 m(x 1)对满足m 2的所有m都成立，则x的取值范围 _2（答：（7 131,）；22(1)n1（4 4）若不等式(1)a 2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 _nn（答：2,)）；（5 5）若不等式x 2mx2m1 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m 2).2).能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fx A成立,则等价于在区间D上fxmax A；若在区间D上存在实数x使不等式fx B成立,则等价于在区间D上的fxmin B.如如已知不等式x 4 x 3 a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围 _（答：a 1）3).3).恰成立问题恰成立问题若不等式fx A在区间D上恰成立,则等价于不等式fx A的解集为D；若不等式fx B在区间D上恰成立,则等价于不等式fx B的解集为D.2321）2
