南开大学2005年数学分析考研试题.pdf
南开大学 2005年数学分析考研试题1.计算二重积分 Ix2 ydxdy，其中Dx,yR2:xy1.Dufx,y,z2.设 uu x 为由方程组g x,y,z0 确定的隐函数，求du.dxh x,y,z 03.求极限 lim111.n4n2124n2224n2n24.求证 f xsin t dt在 0,上连续.0 xt5.判断级数e1111的敛散性.n 11!2!n!6.设函数 f x 在1,1上连续可导，且 f 00，（1）求证1fx在1,1上一致收敛；n 1nn（2）设 S x1fx，求证 S x在1,1上连续可导.n 1nn7.设 P x,y，Q x,y在全平面 R2上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周有 P x,y dxQx,ydy0，求证QP.Cxy8.设 f x 在 0,a上两次可导，f 0f0f a0，f a1，ax,0 x并且对任何 x0,a，有 fx1.设g x，ax,a2xa2（1）求证 fxg x；（2）求证存在 x00,a,使得 fx0g x0；（3）求证a2.9.设 f x 和 gx 在区间 a,b 内有定义，对任何 x,x0a,b，有 f xf x0g x0 xx0，(1)求证 f x 在 a,b 内连续;(2)f x 在 a,b 内左导数、右导数存在。1,C南开大学 2005年数学分析考研试题的解答1、解2、解由于 D 关于 x轴对称，被积函数关于 y 成奇函数，所以该积分为0.dudx,fxfyyxfzzx，其中y zx由gxgyhyyzxgzx00求出，xhxyzxhzxy hx gzhzgx,zhx gyhygx。x gyhzgz hy3、解原式.limnx gy hzngz hy101nk 11k24()n4 x2dxarcsin|012x64、证明设a(x,t)sin t，b(x,t)x1 t，显然对任意 M0，|a(x,t)dt|0Msin tdt|0M2一致有界，)单调，0 b(x,t)对每 x(0,)，b(x,t)1在上 t(0,xt1x1，t t且当 t时，b(x,t)一致趋于0，根据狄利克雷判别法，得0sin t dt在 x(0,xt)上一致收敛，又 sin t在(x,t)(0,)(0,)上连续，x t故 f(x)0sin txt dt在 x(0,)上连续。5.解法 1 由泰勒公式 e1111!2!1e，n!(n1)!则 0 e (11 11!e2!1)n!ee，(n 1)!(n 1)!而后者n 1收敛，则原级数收敛。(n1)!1k 0解法 2利用e,得k!2原式11jn 1 k n 1k!n 1 k 1(n k)!j 1(j 1)!j 1(11)1，所以原级数收敛。j!(j 1)!f6、证明由于函数x 在1,1上连续可导，且 f 0，f x0在1,1上连续，且有界，设|f x|M；由拉格朗日中值定理，|1f()|x|1(f(x)|f1()|x M|x|Mf(0)|22,nnnnnnn1nx而M收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数(f()一致收敛。n 1n2n1nn|n2f(n)|,所以n2n 1(nf(n)n 1n2f(n)因为1xM1x1x一致收敛,x于是可以逐项求导，且s(x)12 f(),它是连续的，故s(x)连续可导.n 1nn7、证明QP用反证法：假设存在(x0,y0)，有()(x0,y0)0，xy不妨设(PQ)(x0,y0)0，由连续函数的局部保号性，知道存在(x0,y0)的一个邻域xy当(x,y)U时，有(QP)(x,y)0，xy则存在一个圆周 C0U，PdxQdy(PQ)dxdy0，这与已知条件矛盾。Dxy所以结论得证。8、证明当 0 xa时，f(x)(f(x)f(0)f()x x，2ax f(x)f(x)f(a)f ()(x a)a2a时，x，综上，成立f (x)g(x)；(2)用反证法，若对任意的x(0,a)，有 f(x)g(x)，则在 xa时，f(x)不存在，矛盾。所以在 x00,a,使得 fx0g x0；23U，(3)由（1）、（2）知，在 0,a上，f(x)g(x)，但 f(x)与 g(x)不恒等，a所以0f(x)dxa0g(x)dx，1f(a)f(0)1a2 a，故 a22。9、证明（1）对任意x1,x2,x3(a,b),x1x2x3，由题设条件，得f(x3)f(x2)g(x2)(x3x2)，f(x1)从而得到f(x2)g(x2)(x1 x2)，f(x1)f(x2)g(x2)f(x3)x1x2x3x2f(x2)f(x1)即f(x)2，f(x3)f(x2)x3x2f(x2)x2x1，于是 f(x)在(a,b)上是凸函数，由此而来，成立f(x1)f(x3)f(x1)f(x3)f(x2)x3 x2，x2x1f(x)xx0 x3x10进而 F(x,x0)f(x),(xx0)，关于 x是单调递增的，关于x0是单调递增的。（2）对任意固定x0则有(a,b)，任取 x1,x2,x4(a,b),x4 x0 x1 x2f(x1)f(x0)f(x2)x1x0 x2x0f(x4)f(x0)x4x0f(x)0，则 F(x,x0)f(x)xx0f(x0),(x x0)，关于 x单调递增，且有下界，于是存在右极限，即 f(x0)存在，同理可证f(x0)存在，由极限的保不等式性，可得f (x0)f(x0)。于是 f(x)在(a,b)内右导数存在，f(x)在(a,b)内左导数存在，且f(x)f(x)。(3)对任意ab,x3x1x2x4,f(x3)fx3从而有f x1f x3x1x3f x2f x1x2x1f x4f x2x4x2f()f x4，x44fx2f ()f x1x1f (x2)，x1|于是有|f x2f x1|L|x2即得 f x 在 ,上是 Lipschitz 连续的,从而fx 在 ,上是连续,故可得知 f x 在 I内连续.当 I有端点时，f x 在断点处未必连续.（注：g(x)在(a,b)上未必有界。例如 f(x)ln x,x(0,1)，g(x)f(x)1，在(0,1)上是无界的。x例 1设 fx1,x 0，显然此函数在0,1上是凸函数,x2,0 x1但是 f x 在 0,1上无最小值，f x在x0处不连续.例 2设fx1，x0,，xf x 在 x0,上是凸函数，且有下界，但是 f x1在 x0,上无最小值.x5）
