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专升本高等数学测试题专升本高等数学测试题1.函数y 1sin x是 D A 奇函数；B 偶函数；C 单调增加函数；D 有界函数解析解析因为1 sin x 1，即0 1sin x 2,所以函数y 1sin x为有界函数2.假设f(u)可导，且y f(e)，那么有B；Ady f(e)dx；Bdy f(e)e dx；Cdy f(e)e dx；Ddy f(e)e dxx解析解析y f(e)可以看作由y f(u)和u e复合而成的复合函数xxxxxxxxx由复合函数求导法y f(u)e f(u)exxxx，所以dy ydx f(e)e dx3.0exdx=(B );(A)不收敛;(B)1;(C);(D)0.x0解析解析0e dx exx 0114.y2y y (x1)e的特解形式可设为 A；2x(A)x(ax b)e；(B)x(axb)e；xx(C)(axb)e；(D)(ax b)x22x解析解析特征方程为r 2r 1 0，特征根为r1=r2=1=1 是特征方程的特征重根，于是有yp x(axb)e25.Dx2 y2dxdy(C)，其中D：1x2 y24；(A)(C)2020dr2dr；(B)142020drdr；14dr2dr；(D)12drdr12解析解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式当x rcos22时，dxdy rdrd，由 于1x y4，D表 示 为1 r 2，0 2，故y rsinDx2 y2dxdy rrdrdD20dr2dr126.函数y=x arcsin(1)的定义域23 x21解解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即3 x 3,3 x2 0,推得0 x 4,x1 1,23,因此，所给函数的定义域为0,3).3 x 0,即0 x 7.求极限lim2 x 2=x22 x解：解：原式=lim(2 x 2)(2 x 2)x2(2 x)(2 x 2)1x22 x 2=lim=1.恒等变换恒等变换之后“能代就代能代就代4=8.求极限limx1x1sin tdt1 cos x0解：解：此极限是“型未定型，由洛必达法那么，得0limx1x1sin tdt=limx1(sin tdt)1x1cos x(1cos x)=limsin x11 lim()x1 sin xx19.曲线 x t,在点1，1处切线的斜率3y t,1 t,t 1,31 t,解：由题意知：dydxt1(t3)(t)t1 3t2t1 3,曲线在点1，1处切线的斜率为 310.方程y2yy 0,的通解为解：解：特征方程r 2r 1 0,特征根r1 r21,通解为y (C1C2x)e.x211.交错级数(1)n1n11的敛散性为n(n 1)11=,n(n1)n1n(n 1)4(1)n1n1而级数1收敛，故原级数绝对收敛.n1n(n 1)12.lim(11x).第二个重要极限第二个重要极限xx21x1x1x1x11解一解一原式=lim(1)(1)lim(1)lim(1)=ee1，xx0 xxxxx1(x2)(x)0=e 1解二解二原式=lim(12)xx113.limx011ln(1 x)xx20或型.0解所 求 极 限 为 型，不 能 直 接 用 洛 必 达 法 那 么，通 分 后 可 变 成11x ln(1 x)lim2ln(1 x)lim lim2x0 xx0 x0 xx limx111 x2x1 x 111 lim.x02x(1 x)x02(1 x)214.设f(x)xe，求f(x).解：解：令y x,两边取对数得：ln y e ln x,两边关于x求导数得：exx1exx y e ln x yxexy y(e ln x)xxex).即y x(e ln x xexx15.求f(x)x3+3x在闭区间5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值.2解：解：f(x)3x 6x,令f(x)0,得x1 0,2x2 2,f(x)6x 6,f(0)6 0,f(2)6 0,f(x)的极大值为f(2)4，极小值为f(0)0.f(5)50,f(5)200.比拟f(5),f(2),f(0),f(5)的大小可知：f(x)最大值为 200，最小值为50.16.求不定积分111 xdx.2解：解：令1 x t,那么x t 1,dx 2tdt,于是原式=2tt 11dt=dt2dt2 dt 1t1t1t=2t 2ln1t C=2 1 x 2ln1 1 x C.17.求定积分1041xxdx.解解:1利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令t x，x t2，dx 2tdt，当x 0时，t 0，当x 4时，t 2，于是1041xxdx=21t42tdt=4 2t dt01t01t2 4t t2 4ln1t20 4 4ln3.18.求方程(exyex)dx(exyey)dy 0的通解；xyyx解解整理得e(e 1)dx e(e 1)dy，eyexdy xdx，用别离变量法，得ye 1e 1两边求不定积分，得ln(e 1)ln(e 1)lnC，于是所求方程的通解为e 1即e 19.u e sin xy,求xyxyC，xe 1yC1ex1ux,(0,1)uy.(1,0)解：解：因u exsin xy excosxy y ex(sin xy ycosxy),xu excosxy x,yuxuy e0(sin0cos0)1,(0,1)e(cos01)e.(1,0)20.画出二次积分20dy2 4y22 4y2fx,ydx的积分区域D并交换积分次序.y0 y 2,解：解：D：2224 y x 24 y0 x 4,的图形如右图，由图可知，D也可表为20 y 4x x,O24x所以交换积分次序后，得40dx04xxfx,ydy.221.求平行于y轴，且过点A(1,5,1)与B(3,2,3)的平面方程.解一解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n n.因为平面平行于y轴，所以n n j j.又因为平面过点A与B，所以必有n n AB.于是，取n n=j AB,i i而AB=2，7，4，所以n n=0j j1k k0=4i i 2k k，27 4因此，由平面的点法式方程，得 4(x 1)0(y 5)2(z 1)0，即2x z 3 0.解二解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为Ax By Cz D 0,由于平面平行于y轴，所以B 0，原方程变为AxCz D 0，又所求平面过点A(1,5,1)与B(3,2,3)，将A,B的坐标代入上述方程，得 AC D 0,解之得A 2C,D 3C,代入所设方程，故所求平面方程为3A3C D 0,2x z 3 0.
