2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质作业 苏教版选修1-1.doc

12.4.22.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质基础达标 1设抛物线y2mx的准线与直线x1 的距离为 3，则抛物线的方程为_解析：当m>0 时，准线方程为x 2，m 4 m8，此时抛物线方程为y28x；当m0)的焦点，A是抛物线上的一点，与xFA轴正向的夹角为 60°，则|_.OA解析：如图，过A作ADx轴于D. 在 RtAFD中，AFD60°. 令FDm，则FA2m. ADm.3 根据抛物线的定义可知 pm2m.mp.| p.OAOD2AD2(p 2p)2 3p2212答案：p212 4若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距3 离为_ 解析：依题意，设点M(x，y)，其中x>0，则有Error!，由此解得x1，又该抛物线的准线方程为x ，结合抛物线的定义，点M到该抛物线的焦点的距离等于 1 .1 21 23 2答案：3 225直线yx3 与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂 线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_ 解析：直线yx3 与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得Error!，消元得x210x90， 解得Error!，和Error!，AP10，BQ2，PQ8， 梯形APQB的面积为 48. 答案：48 6. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状， 先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m，P距抛物线对称轴 1 m，则为使水不落到池 外，水池直径最小为_m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p>0)，则P(1，1)，代入抛物线方程得p ，抛物线x2y，代入点(x，2)，得x，即水池半径最小1 22 为r(1)m，水池直径最小为 2r(22)m.22答案：222 7已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于 A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于 4，求此抛物线的标准方程 解：由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x ，(p 2，0)p 2A、B两点坐标为，(p 2，p) (p 2，p) AB2|p|. OAB的面积为 4， ··2|p|4，p±2.1 2|p 2|2 抛物线的标准方程为y2±4x.2 8. 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于 B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设kABk(k0)， 直线AB，AC的倾斜角互补，3kACk(k0)， 直线AB的方程是yk(x4)2. 由方程组Error!消去y后，整理得 k2x2(8k24k1)x16k216k40. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4·xB，即xB，16k216k4 k24k24k1 k2以k代换xB中的k，得xC，4k24k1 k2kBCyByC xBxCkxB42kxC42 xBxC ，kxBxC8 xBxCk(8k22k28)8k k21 4 直线BC的斜率为定值 能力提升 1等腰直角三角形OAB内接于抛物线y22px(p>0)，O是抛物线的顶点，OAOB，则 OAB的面积为_ 解析：设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 y212px1，y222px2， 由OAOB，则xyxy，2 12 12 22 2 xx2px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0，2 12 2 x1>0，x2>0,2p>0， x1x2，即A、B关于x轴对称 故直线OA的方程为：yxtan 45°，即yx. 由Error!，解得，Error!(舍)或Error!，故AB4p，等腰三角形OAB的面积为 ×2p×4p4p2.1 2 答案：4p2 2对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 其中能得出抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号) 解析：在两个条件中，应选择，则由题意，可设抛物线方程为y22px(p>0)；对于，由焦半径公式r1 6，p10，此时y220x，不符合条件；p 2 对于，2p5，此时y25x，不符合题意；对于，设焦点为，则由题意，满足 ·1.(p 2，0)1 2102p2解得p5，此时y210x，所以能使抛物线方程为y210x. 答案： 3某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一木船宽 4 m 高 2 4m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不3 4 能通航？ 解：如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x22py(p>0)，过点(4，5)，162p(5)，2p，16 5抛物线方程为x2y，x2 时，y ，16 55 4相距为 2 时不能通行3 45 4 4(创新题)A，B为抛物线y22px(p>0)上两点，O为原点，若OAOB，求证：直线 AB过定点 证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.2 12 2 因为OAOB，所以x1x2y1y20， 则y y2px1·2px24p2x1x24p2y1y2，2 1 2 2 所以y1y24p2. 因为yy(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，2 22 1若x1x2，则，y2y1 x2x12p y1y2所以直线AB的方程为yy1(xx1)2p y1y2因为y2px1，所以yy1，2 12p y1y2(xy2 1 2p)所以yy12px y1y2y2 1 y1y2(x2p)，2px y1y2y1y2 y1y22p y1y2 所以直线AB过定点(2p,0) 若x1x20，则y1y2. 因为OAOB，所以x1x2y1y20， 故直线xy0，即x2px10，所以x12p.2 12 12 1 故直线AB过定点(2p,0)， 所以存在定点(2p,0)，使得命题成立