北师大版七年级上册数学各章节知识点总结---2017.pdf
北师大版七年级上册数学各章节知识点总结北师大版七年级上册数学各章节知识点总结 2017.1.4 2017.1.4第一章第一章丰富的图形世界丰富的图形世界1,1,点点,线线,面面,体：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。体：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。点动成线，线动成面，面动成体。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。点动成线，线动成面，面动成体。2,2,生活中的立体图形生活中的立体图形圆柱圆柱柱柱生活中的立体图形生活中的立体图形球球棱柱：三棱柱棱柱：三棱柱,四棱柱（长方体四棱柱（长方体,正方体）正方体）,五棱柱,五棱柱,(按名称分按名称分)锥锥圆锥圆锥棱锥棱锥3,3,棱柱：棱柱：n n 棱柱有两个底面，棱柱有两个底面，n n 个侧面，共（个侧面，共（n+2n+2）个面；）个面；3n3n 条棱，条棱，n n 条侧棱；条侧棱；2n2n 个顶点。个顶点。4,4,正方体的平面绽开图：正方体的平面绽开图：（一四一）中间四个面，上下各一面；（一四一）中间四个面，上下各一面；（二三一）中间三个面，一二隔河见；（二三一）中间三个面，一二隔河见；（二二二）中间两个面，楼梯三层（二二二）中间两个面，楼梯三层见；见；（三三）中间没有面，三，三连一线。（三三）中间没有面，三，三连一线。正方体的平面绽开图共有1111 种种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），详细来讲分以下 4类。口诀：需背诵正方体：中间四个面，上下各一面（6 种摆法-141）中间三个面，一二隔河见（3 种摆法-132/231）中间二个面，楼梯每天见（1 种摆法-222)中间没有面，三三连一线（1 种摆法-33）“田”“凹”应弃之第一类：第一类：“1 14 41 1”型，”型，其特点是有 4 个连成一排的正方形，两侧又各有1 个正方形，共有 6 种。口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随意放）第二类：第二类：“1 13 32 2”型，”型，其特点是有 3 个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1 个正方形，另一侧有 2 个正方形（其中只有 1 个与中间那一排相连），共有 3 种。口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）第三类：第三类：“2 22 22 2”型，”型，其特点是有 2 个连成一排的正方形，其两侧又各有2 个连成一排的正方形，只有1 种。口诀：中间二个面，楼梯每天见第四类：第四类：“3 33 3”型，”型，其特点是有 3 个连成一排的正方形，其一侧还有3 个连成一排的正方形，只有1 种。中间没有面，三三连一线（1 种摆法-33）5,5,截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形（平行四边形，长方形，正方形，梯形）截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形（平行四边形，长方形，正方形，梯形），五边形，六，五边形，六边形。边形。6,6,三视图：从正面看，从左面看，从上面看三视图：从正面看，从左面看，从上面看7,7,多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个n n 边形的同一个顶点动身，分别连边形的同一个顶点动身，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个接这个顶点与其余各顶点，可以把这个 n n 边形分割成（边形分割成（n-2n-2）个三角形。）个三角形。8,8,弧：圆上弧：圆上 A,BA,B 两点之间的部分叫做弧。扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。两点之间的部分叫做弧。扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。第二章第二章 有理数及其运算有理数及其运算1.1.有理数的分类：有理数的分类：2.2.数轴的三要素：原点数轴的三要素：原点,正方向正方向,单位长度（三者缺一不可）单位长度（三者缺一不可）。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上全部的点都表示有理数。如）（反过来，不能说数轴上全部的点都表示有理数。如）3.3.相反数：相反数：（1 1）假如两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。）假如两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0 0 的相反数是的相反数是 0 0）（2 2）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。（3 3）数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。）数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。4.4.肯定值：肯定值：（1 1）肯定值的定义：一个数）肯定值的定义：一个数 a a 的肯定值就是数轴上表示数的肯定值就是数轴上表示数 a a 的点与原点的距离。数的点与原点的距离。数 a a 的肯定值记作的肯定值记作|a|a|。（2 2）正数的肯定值是它本身；负数的肯定值是它的数；）正数的肯定值是它本身；负数的肯定值是它的数；0 0 的肯定值是的肯定值是 0 0。越来越大 a(a 0)a(a 0)|a|0(a 0)或或|a|a(a 0)a(a 0)-3-2-10123（3 3）肯定值的性质：除）肯定值的性质：除 0 0 外，肯定值为正数的数有两个，它们互为相反数；外，肯定值为正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除互为相反数的两数（除 0 0 外）的肯定值相等；即：外）的肯定值相等；即：|a|=|b|a|=|b|，则，则 a+b=0a+b=0任何数的肯定值总是非负数，即任何数的肯定值总是非负数，即|a|0|a|0对任何有理数对任何有理数 a,a,都有都有|a|=|-a|a|=|-a|5.5.比较两个负数的大小，肯定值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：比较两个负数的大小，肯定值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的肯定值；先求出两个数负数的肯定值；比较两个肯定值的大小；比较两个肯定值的大小；依据依据“两个负数，肯定值大的反而小两个负数，肯定值大的反而小”做出正确的推断。做出正确的推断。6.6.有理数加法：有理数加法：（1 1）法则）法则同号两数相加，取相同符号，并把肯定值相加。同号两数相加，取相同符号，并把肯定值相加。异号两数相加，肯定值相等时和为异号两数相加，肯定值相等时和为 0 0；肯定值不等时取肯定值较大的数的符号，并用较大数的肯定值减去较小数的肯定值。；肯定值不等时取肯定值较大的数的符号，并用较大数的肯定值减去较小数的肯定值。一个数一个数同同 0 0 相加，仍得这个数。相加，仍得这个数。（2 2）加法的交换律）加法的交换律,结合律在有理数运算中同样适用。敏捷运用运算律，运用运算简化，通常有下列规律：结合律在有理数运算中同样适用。敏捷运用运算律，运用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。几个数相加能得到整数，可以先相加。7.7.有理数减法：有理数减法：（1 1）法则：）法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法运算时留意两有理数减法运算时留意两“变变”：改变运算符号；改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数）改变减数的性质符号（变为相反数）同时运算要留意一个同时运算要留意一个“不变不变”：被减数与减数的：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。（2 2）有理数的加减法混合运算的步骤：）有理数的加减法混合运算的步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律利用加法则，加法交换律,结合律简化计算。结合律简化计算。（留意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。（留意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。）8.8.有理数乘法：有理数乘法：（1 1）法则：）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，肯定值相乘。两数相乘，同号得正，异号得负，肯定值相乘。任何数与任何数与 0 0 相乘，积仍为相乘，积仍为 0 0。（2 2）假如两个数互为倒数，则它们的乘积为）假如两个数互为倒数，则它们的乘积为 1 1。（如：（如：-2-2 与与零没有倒数零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（3 3）乘法的交换律）乘法的交换律,结合律结合律,安排律在有理数运算中同样适用。安排律在有理数运算中同样适用。（4 4）有理数乘法运算步骤：）有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；先确定积的符号；求出各因数的肯定值的积。求出各因数的肯定值的积。9.9.有理数除法法则：有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把肯定值相除。两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把肯定值相除。00 除以任何非除以任何非 0 0 的数都得的数都得 0 0。0 0 不可作为除数，否则无意义。不可作为除数，否则无意义。10.10.有理数的乘有理数的乘留意：留意：一个数可以看一个数可以看当底数是负数当底数是负数乘方的运算性质：乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；任何数的偶数次幂都是非负数；11 的任何次幂都得的任何次幂都得 1 1，0 0 的任何次幂都得的任何次幂都得 0 0；-1-1 的偶次幂得的偶次幂得 1 1；-1-1 的奇次幂得的奇次幂得-1-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的肯定值。在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的肯定值。11.11.有理数混合运算法则：有理数混合运算法则：先算乘方先算乘方,再算乘除再算乘除,最终算加减。最终算加减。n个a aaaa 135,与 等）留意：等）留意：253an幂指数底数方方：作是本身的一次方，如作是本身的一次方，如 5=55=51 1；或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。假如有括号假如有括号,先算括号里面的。先算括号里面的。12.12.科学记数法：一般地，一个大于科学记数法：一般地，一个大于 1010 的数可以表示成的数可以表示成 a10a10n n的形式，其中的形式，其中 1a101a,”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必需要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。代数式中的字母所表示的数必需要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。代数式的书写格式：代数式的书写格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vtvt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如2数字与数字相乘，一般仍用数字与数字相乘，一般仍用“”“”号，即号，即“”“”号不省略；号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般依据分数的写法来写，如在代数式中出现除法运算时，一般依据分数的写法来写，如 44（a-4a-4）应写作）应写作17a应写作应写作a；334；留意：分数线具有；留意：分数线具有“”“”号和括号的双重作用。号和括号的双重作用。a 42在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必需把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必需把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如(a2.2.单项式：单项式：（1 1）系数：）系数：代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如。如 3x,4y3x,4y 的系数分别为的系数分别为 3 3，4 4。留意：留意：单个字母的系数是单个字母的系数是 1 1，如，如 a a 的系数是的系数是 1 1；只含字母因数的代数式的系数是只含字母因数的代数式的系数是 1 1 或或-1-1，如，如-ab-ab 的系数是的系数是-1-1。a a3 3b b 的系数是的系数是 1 1（2 2）次数：全部字母的指数和就是这个单项式的次数）次数：全部字母的指数和就是这个单项式的次数3.3.多项式：多项式：（1 1）项：）项：代数式代数式6x2b2)平方米平方米2x7表示表示 6x6x2 2,-2x,-2x,-7-7 的和，的和，6x6x2 2,-2x,-2x,-7-7 是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项。留意：在交待某一项时，应是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项。留意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。与前面的符号一起交待。（2 2）次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。）次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。4.4.同类项：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。留意：留意：推断几个代数式是否是同类项有两个条件：推断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.a.所含字母相同；所含字母相同；b.b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；同类项与系数无关，与字母的排列依次无关；同类项与系数无关，与字母的排列依次无关；几个常数项也是同类项。几个常数项也是同类项。5.5.合并同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的理论依据是逆用乘法安排律；合并同类项的理论依据是逆用乘法安排律；合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。留意：留意：假如两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为假如两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为 0 0；不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；只要不再有同类项，就是最终结果，结果还是代数式。只要不再有同类项，就是最终结果，结果还是代数式。6.6.去括号法则：去括号法则：括号前面是括号前面是“+”“+”号，把括号和它前面的号，把括号和它前面的“+”“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号去掉，括号里各项都改变符号。号去掉，括号里各项都改变符号。同时也可以依据安排律去括号：同时也可以依据安排律去括号：括号前面是括号前面是“+”“+”号看成号看成+1+1，括号前面是，括号前面是“”号看成号看成-1-1，依据乘法的安排律用，依据乘法的安排律用+1+1 或或-1-1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。留意：留意：去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；去括号时，首先要弄清晰括号前是去括号时，首先要弄清晰括号前是“+”“+”号还是号还是“”号；号；改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。第四章第四章平面图形及位置关系平面图形及位置关系一一.线段线段,射线射线,直线直线1.1.名称名称直线直线图形图形表示方法表示方法端点端点无端点无端点长度长度无法度量无法度量lAB直线直线 ABAB(或或 BABA)直直线线l l射线射线OM射线射线 OMOM1 1 个个无法度量无法度量线段线段lAB线段线段 ABAB(或或 BABA)线段线段 l l2 2 个个可度量长度可度量长度2.2.直线公理直线公理:经过两点有且只有一条直线经过两点有且只有一条直线.二二.比较线段的长短比较线段的长短1.1.线段公理线段公理:两点间线段最短两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离两之间线段的长度叫做这两点之间的距离.2.2.比较线段长短的两种方法比较线段长短的两种方法:圆规截取比较法圆规截取比较法;刻度尺度量比较法刻度尺度量比较法.3.3.用刻度尺可以画出线段的中点用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和线段的和,差差,倍倍,分分;用圆规可以画出线段的和用圆规可以画出线段的和,差差,倍倍.三三.角的度量与表示角的度量与表示1.1.角角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;这个公共端点叫做角的顶点这个公共端点叫做角的顶点;这两条射线叫做角的边这两条射线叫做角的边.2.2.角的表示法：角的符号为角的表示法：角的符号为“”用三个字母表示，如图用三个字母表示，如图 1 1 所示所示 AOBAOB用一个字母表示，如图用一个字母表示，如图 2 2 所示所示 b b用一个数字表示，如图用一个数字表示，如图 3 3 所示所示 11用希腊字母表示，如图用希腊字母表示，如图 4 4 所示所示 3.3.平角和周角：平角和周角：角也可以看成是由一条射线围着它的端点旋转而成的。如图角也可以看成是由一条射线围着它的端点旋转而成的。如图 5 5 所示：所示：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图。如图 6 6 所示：所示：终边接着旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角终边接着旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。如图。如图 7 7 所示所示4.4.角的单位和换算：角的单位和换算：1=601=60”1=601=60”5.5.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。三三,直线直线,射线和线段：射线和线段：经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。两点之间的全部连线中，线段最短。两点之间的全部连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。第五章第五章一元一次方程一元一次方程在一个方程中，只含有一个未知数在一个方程中，只含有一个未知数 x x（元）（元），并且未知数的指数是，并且未知数的指数是 1 1（次）（次）,这样的方程叫做一元一次方程这样的方程叫做一元一次方程。等式两边同时加上等式两边同时加上(或减去或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。同一个代数式，所得结果仍是等式。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 0 的数）的数），所得结果仍是等式。，所得结果仍是等式。解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母,去括号去括号,移项移项,合并同类项合并同类项,未知数的系数化为未知数的系数化为 1 1 等几个步骤，把一个一元等几个步骤，把一个一元一次方程一次方程“转化转化”成成 x=mx=m 的形式。的形式。第六章第六章生活中的数据生活中的数据统计图的特点：统计图的特点：折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化状况。折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化状况。条形统计图：能够清晰地反映每个项目的详细数目及之间的大小关系。条形统计图：能够清晰地反映每个项目的详细数目及之间的大小关系。扇形统计图：能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系扇形统计图：能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系统计图对统计的作用：统计图对统计的作用：（1 1）可以清晰有效地表达数据。）可以清晰有效地表达数据。（2 2）可以对数据进行分析。）可以对数据进行分析。（3 3）可以获得很多的信息。）可以获得很多的信息。（4 4）可以扶植人们作出合理的决策。）可以扶植人们作出合理的决策。图 5始边1图 3终边图 4AOB图 1b图 2平角图 6周角图 7
