《对偶空间与对偶基》PPT课件.ppt

一、一、对偶对偶空间与对偶基空间与对偶基二、对偶空间的有关结果二、对偶空间的有关结果10.2 对偶空间对偶空间 三、例题讲析三、例题讲析一、一、对偶空间与对偶基对偶空间与对偶基1 1、对偶空间对偶空间设设 是数域是数域 上的上的 维线维线性空性空间间，表示表示上全体上全体线线性函数的集合，性函数的集合，在在 中定义加法中定义加法和数乘运算：和数乘运算：则则 构成数域构成数域 上的上的线线性空性空间间，称之，称之为为V的的对对偶空偶空间间，记为记为定义定义定义定义 2、对偶基对偶基设设 为为数域数域 上上线线性空性空间间 的一的一组组基，基，作映射作映射 则则 ，且，且即，即，有，有，对任意对任意 线线性无关性无关.证证明明：设设两端作用两端作用 得得 中任意中任意线线性函数可由性函数可由 线线性表出性表出.证证明明：，对对 ，设设则则 线性无关线性无关.综合综合与与即即得得定理定理2取定取定线性空间线性空间V的一组基的一组基若若V上的上的n个线性函数满足个线性函数满足则则 为为 的一的一组组基基.称之称之为为 的的对对偶基偶基.例例.上上线线性空性空间间 ,任意任意 个不同个不同实实数数 根据拉格朗日插根据拉格朗日插值值公式，有多公式，有多项项式式 则则且且 为为 的一的一组组基基.3 3、例题讲析、例题讲析这这是因是因为为:线线性无关性无关.事事实实上，若有上，若有用用 依次代入上式依次代入上式则则得得:线线性无关性无关.为为基基.则线则线性函数性函数满满足足因此因此 是是 的的对对偶基偶基.设设是在点的取是在点的取值值函数：函数：1 1、定理、定理3 3设设 与与 为线为线性性空空间间V的两的两组组基，其的基，其的对对偶基分偶基分别为别为与与如果如果则则 到到 的的过过渡矩渡矩阵为阵为即，即，二、对偶空间的有关结果二、对偶空间的有关结果 证证明：明：设设V数域数域P上的一个上的一个n维线维线性空性空间间，与与 是是V的两的两组组基，它基，它们们的的对对偶基分偶基分别别是是即，即，再设再设其中，其中，于是有于是有 所以，所以，即即 或或2 2、线性函数空间的同构线性函数空间的同构定理定理4设设V为线为线性空性空间间，是，是V的的对对偶空偶空间间的的对对偶空偶空间间，即，即定定义义映射映射则则 为为同构映射同构映射.即即证证：同理同理所以所以 保持加法和数量乘法保持加法和数量乘法.首先：首先：是是1-1对应对应的，的，若若则对则对 ,即即,又又 由由 的任意性，的任意性，即即故故 是是单单射射.空空间间，所以，所以 可看成可看成 上上线线性函数空性函数空间间,与与 是是由由Th3,与与 同构，而同构，而 是是 上上线线性函数空性函数空间间，互互为为线性函数空间的线性函数空间的.注：注：例例1.设设 是是线线性空性空间间 的一的一组组基基,是它的是它的对对偶基，偶基，试证试证：是是 的一的一组组基，并求它的基，并求它的对对偶基偶基.（用（用 表示）表示）三、例题讲析三、例题讲析非退化非退化.故故 是是 的一的一组组基基.它的它的对对偶基偶基解：解：而而例例2.设设 是一个是一个线线性空性空间间，是是 中的中的非零向量非零向量.证证明：明：存在存在 使使证证：的核的核 是是 的真子空的真子空间间，否，否则则即即从而从而与已知矛盾与已知矛盾.