2019高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2.4 函数的单调性习题 苏教版必修1.doc
1函数的单调性函数的单调性（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟） 一、填空题1. 函数21 xy的最小值是_。2. 设函数)(xf , 0, 6, 0, 642xxxxx则不等式) 1 ()(fxf的解集为_。 3. 已知函数)(xf13 aax（1a）（1）若0a，则)(xf的定义域是_；（2）若)(xf在区间 1 , 0(上是减函数，则实数a的取值范围是_。4. 已知函数32, 2,( ) (1) , 2.xf xx xx 若关于x的方程( )f xk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 _。5. 设Ra，若0x时均有 1) 1(xa) 1(2axx0，则a_。6. 若关于x的方程2 2kxxx有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是_。7. （1）二次函数2( )45f xxmx在 2,上是增函数，则(1)f的取值范围是_；（2）已知函数2( )f xxx，若2(1)(2)fmf，则实数m的取值范围是_。8. 若不等式2212122aaxx对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_。二、解答题9. 设)(xf是定义在 R 上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当 0x时，1)(0xf。（1）求证：1)0(f； （2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在 R 上是减函数；（4）若( )(2)1f xfx，求x的取值范围。21. 2 解析：画出21 xy的图象如下：由图可知，21 xy的最小值是 2。2. ), 3() 1 , 3(解析：画出分段函数)(xfy 的图象如下：而3) 1 (f，观察图象可知满足) 1 ()(fxf的解集。3. （1）3,(a；（2）3 , 1 ()0 ,(解析：（1）要使得函数)(xf有意义，则03ax，3ax。又10aa且，ax3，定义域为3,(a（2）令21xx ， 1 , 0(,21xx，由)(xf在区间 1 , 0(上是减函数得：0)()(21xfxf，即013321 aaxax当0a时，01a，21xx ，0a，1ax2ax，2133axax，2133axax0013321 aaxax，即0)()(21xfxf，符合题意。3当0a时)(xf3为常数，不符合题意。当10 a时，01a，21xx ，0a1ax2ax，2133axax，2133axax0，013321 aaxax，即0)()(21xfxf，不符合题意。当31 a时，01a，21xx ，0a1ax2ax，2133axax，2133axax0，013321 aaxax，即0)()(21xfxf，符合题意。当3a时， 1 , 0(x，不一定所有的ax3有意义，不符合题意。综上所述，实数a的取值范围为3 , 1 ()0 ,(。4. （0，1）解析：画出分段函数32, 2,( ) (1) , 2.xf xx xx 的图象如下：( )f xk是一条平行于x轴的直线。要使得关于x的方程( )f xk有两个不同的实根，就要使得( )f xk与32, 2,( ) (1) , 2.xf xx xx 的函数图象有两个交点。由图可知，10 k。5. 23解析：令1) 1()(xaxf，1)(2axxxg要使得 1) 1(xa) 1(2axx0，则)(xf与)(xg在同一点处的函数值同号同一点处的函数值同号，或同时为 0。且)(xf与)(xg的零点相同零点相同4又x时，1)(2axxxg0，x时，1) 1()(xaxf0，1, 01aa画出符合题意的函数图象如下：令)(xf0，x11 a)11(ag0，即) 1(011)11(2aaa a 两边同时乘以) 1( a，化简整理得：0322aa，又1a，23a。6. （, 1）解析：观察方程2 2kxxx可知有一个解为0x，所以关于x的方程2 2kxxx有四个不同的实数解等价于2 2kxxx有三个不同的非零实数解。由2 2kxxx得k2)2(xxx . 0,)2(1, 0,)2(1xxxxxxk1 . 0),2(, 0),2(xxxxxx令kxf1)(，)(xg . 0),2(, 0),2(xxxxxx则)(xf与)(xg的图象有三个交点。画出符合条件的)(xf与)(xg的图象如下图：5由图可知：110k，1k。7. （1）),25；（2）) 1 , 1(解析：（1）画出符合题意的)(xf的图象如下图：由图可知：二次函数2( )45f xxmx的对称轴直线方程为28mx，16m，16 m。 又mf 9) 1 (，25) 1 (f。（2）2( )f xxx. 0, 0,22xxxxxx画出)(xf的图象如下图：)2(2)2(ff，又2(1)(2)fmf，62122m， 解得：11m。8. 21, 1解析：令)(xf212xx. 2, 13,212, 3,21, 13xxxxxx令221)(2aaag，分别画出)(xf，)(ag的函数图象如下：要使得)()(agxf对任意实数x恒成立，只须使)(ag小于或等于)(xf的最小值即可。由图可知，25)21()(min fxf，25221)(2aaag，解得：211a。9. （1）证明：令0, 1nm，代入到)()()(nfmfnmf中，则：)0() 1 () 1 (fff，又当0x时，1)(0xf，1) 1 (0 f1) 1 ( ) 1 ()0(fff。（2）证明：当0x时，0 x，1)(0xf则)(xxf=)()(xfxf=1)0(f，又1)(0xf，1)(xf故当0x时，01)(xf；当0x时，1)(0xf； 当0x时，01)0(f综上所述，Rx时恒有0)(xf。7（3）证明：任意取Rxx21,，且21xx ； )()(21xfxf)()(2221xfxxxf )()()(2221xfxfxxf 1)()(212xxfxf，又21xx ，021 xx；又当0x时，01)(xf，1)(21 xxf，01)(21 xxf，又0)(2xf，0)()(21xfxf)(xf在 R 上是减函数。 （4）解：1)2()(xfxf，又1)0(f，)(xf在R上为减函数， )2()(xfxf)2(xxf )2(f1)0( f1)2()(xfxf无解。
