2019高中数学 第2章 数列 2.4 等比数列的概念与通项公式学案 苏教版必修5.doc
1等比数列的概念与通项公式等比数列的概念与通项公式一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明等比数列的概念与通项公式1. 掌握等比数列的概念。2. 掌握等比数列的通项公式和性质。选择题填空题解答题等比数列是很重要很基本的数列，注意在学习时类比等差数列的定义特征。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：等比数列的通项公式和性质。难点：难点：等比数列的通项公式和性质的灵活运用。考点一：等比数列概念及通项公式考点一：等比数列概念及通项公式1. 定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示（q0） 。注意：注意：等比数列中不可能出现为等比数列中不可能出现为 0 0 的项的项。2. 等比数列的通项公式1 1nn m nmaa qa q3. 等比中项若a、G、b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2ab。【核心突破核心突破】 在, a b同号时，, a b的等比中项有两个两个，异号时，没有没有等比中项。 在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。 “,a G b成等比数列”等价于“2Gab” （ , a b均不为 0） ，可以用它来判断或判断或证明证明三数成等比数列。同时还要注意到“,a G b成等比数列”与“Gab”是不等价不等价的。 通项公式的应用：由等比数列的通项公式可知，当已知1, , ,na q n a中三个，便可通过建立方程或方程组方程或方程组求出另外一个，这是解这类问题的基本思想方法。考点二：等比数列的通项公式的性质考点二：等比数列的通项公式的性质1. 若*, , ,mnpq m n p qN，则mnpqaaaa，特别地，若mn2p，则amana；2p2. 若等比数列 na的公比为q，则1na是以为1 q公比的等比数列；23. 一组等比数列 na中，下标成等差数列等差数列的项构成等比数列；4. 若 na与 nb均为等比数列，则nna b也为等比数列；5. 从数列的分类来说：当10,1aq，或10,01aq时，数列 na为递增数列；当10,01aq，或10,1aq时，数列 na为递减数列；当1q 时，数列 na为常数列；当1q 时，数列 na为摆动数列。【要点诠释要点诠释】其中性质（其中性质（1 1）用得最多）用得最多，因此我们必须熟记并能灵活运用它，而且它还可以推广。如：若*, , , , ,m n t p q sN，且mntpqs ，则mntpqsaaaaaa，也可推广为等式两边含有 4 项、5 项的情形，但不能推广为mnm naaa。例题例题 1 1 （等比数列的证明）（等比数列的证明）已知数列an的前n项和Sn2n12，求证an是等比数列。思路分析：思路分析：由Sn2n12求an证明nn aa1为常数答案：答案：由Sn2n12，得a1S12222，当n2 时，anSnSn12n122n22n，当n1 时，a12 也符合an2n，an2n（nN N*） ，nn aa1=nn221 =2an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。技巧点拨：技巧点拨：1. 本题已知Sn求an，要利用： )2(111 nSSaSannn求解。2. 已知通项an证明数列为等比数列的步骤：（1）验证首项a10；（2）证明nn aa1q（q0，q为常数） 。例题例题 2 2 等比数列通项公式的应用）在等比数列an中，（1）若a427，q3，求a7；（2）若a218，a48，求a1与q；（3）若a5a115，a4a26，求a3。思路分析：思路分析：本题可根据通项公式，列方程或方程组，求出基本量a1和q，再求其他量. 3答案：答案：（1）由a4a1·q3得a1·（3）327，a11，a7a1·q6（1）·（3）6729。（2）由已知得 8183 11 qaqa 解得 32,271qa或 32,271qa（3）由已知得, 6,1513 114 1 qaqaaqa由得2512 qq，q21或q2。当q21时，a116，a3a1q24；当q2 时，a11，a3a1q24。技巧点拨：技巧点拨：a1，q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解。求a1，q除上述方法外，也可以充分利用各项之间的关系，先求各项，然后再求q与a1。【综合拓展综合拓展】等比数列的综合问题【满分训练满分训练】已知 nx为各项不为 1 的正项等比数列， ny满足log2(0 nnxyaa且1)a ，设4717,11yy。（1）数列 ny的前多少项和最大？最大值是多少？（2）是否存在正整数M，使当nM时，1nx 恒成立？若存在，求M的取值范围；若不存在，则说明理由。思路分析：思路分析：（1）根据数列 nx信息，求出数列 ny通项公式，从而解决第一问；（2）由于含参数，注意分类讨论。答案：答案：（1）22loglog nnan xyxa，且 nx为等比数列， ny为等差数列。又47417,3112yyydd 42(4)252nyynn，由0ny ，知12n 故 ny的前 12 项和最大，其最大值为 144。（2）当1a 时，10nnxy ，又252nyn，故此时不存在正整数M，使 1nx 。当01a时，10nnxy ，又2520nyn，知13n ，此时只要 12,M ，则当nM时，恒有1nx 成立。综上所述，当1a 时，不存在这样的M；当01a时，存在这样的M，只要 12,M 即可。技巧点拨：技巧点拨：对于存在类问题，一般先假设其存在，根据题意进行求解或证明，由结果得出 结论。另外，在解等差数列与等比数列问题时，关键是抓住它们的相关概念、公式，进行4分析、推理、变形。
