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多元函数微分法及其应用 上册讨论的函数都只有一个自变量上册讨论的函数都只有一个自变量,称称一元函一元函数数.但在实际问题中但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素往往牵涉到多方面的因素,反反映到数学上映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了这就提出了多元函数多元函数以及多元函数微积分问题以及多元函数微积分问题.本本章将在一元微积分的基础上章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分讨论多元函数的微分法及其应用法及其应用.主要讨论主要讨论二元二元的情况的情况.一、平面点集一、平面点集 n n 维空间维空间 1.1.平面点集平面点集 平面上具有某种性平面上具有某种性质质P的点的集合的点的集合,称称为为平面平面点集点集,记记作作 例如例如,平面上平面上以以原点原点为为中心、中心、r为为半径的半径的圆圆内内所有点的集合可表示所有点的集合可表示为为 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念(1)(1)邻域邻域（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合2.n 维空间维空间说明：说明：说明：说明：n维空间的记号为维空间的记号为 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 特殊地当特殊地当n=1,2,3 时，便为数轴、平面、空间时，便为数轴、平面、空间两点间的距离两点间的距离设两点为设两点为 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域多元函数中同样有定义域D D、值域、值域f f(D)(D)、自变、自变量、因变量等概念量、因变量等概念.二、多元函数的概念二、多元函数的概念解解所求定义域为所求定义域为求求的定义域的定义域例例1 1二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.二元函数二元函数 的图形的图形再如再如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限.（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似证证求证求证 所以原结论成立所以原结论成立例例2 2解解其中其中求极限求极限 例例3 3例例4 4例例5 5注意注意：如何理解二元函数的极限定义与一元函数极限定义有何差异？确定二重极限确定二重极限不存在不存在的方法：的方法：例例6 6解解沿沿 x 轴轴考察考察,沿沿 y 轴轴考察考察,四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取例例7 7故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随 k 的不同而变化，极限不存在的不同而变化，极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续例例8 8一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例例9 9 所以对多元初等函数来说所以对多元初等函数来说,可以用可以用“代入代入法法”求极限求极限.例例1010闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必定上的多元连续函数，必定在在D上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值介于最大值和最小值之间的任何值.（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理练习：练习：P62 习题习题9-15.6.(2)(4)(5)(6)7.(2)9.第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法或或偏导函数偏导函数:记为记为或或或或2.2.偏导数偏导数的概念可以推广到二元以上函数的概念可以推广到二元以上函数.说明说明:1.1.偏偏导导数数实质实质上仍然是一元函数的微分上仍然是一元函数的微分问题问题.解解例例1 1证证所以原结论成立所以原结论成立例例2 2解解例例3 3解解例例4 4注意：注意：可看作微商，可看作微商，是整体记号。是整体记号。偏导数的几何意义偏导数的几何意义得的曲线得的曲线 多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义定义求求.解解例例5 5同理同理,混合偏导数混合偏导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解例例6 6解解例例7 7求二阶偏导数求二阶偏导数.以后如无特以后如无特别说别说明明,均假定如此均假定如此.证证例例8 8 含有含有 抽象函数抽象函数 记号的函数求记号的函数求 二阶偏导二阶偏导 情况情况 练习：练习：P169 习题习题9-21.(1)(4)(6)(7)4.6.(2)(3)8.9.(2)第三节第三节 全微分全微分回顾回顾:能表示成能表示成实际上实际上即即二元函数的可微和全微分二元函数的可微和全微分定义定义如果可以表示如果可以表示为为 事实上事实上,即即证明证明可微可微 连续连续 证证同理可得同理可得可微可微 可偏导可偏导 注注：逆定理不成立：逆定理不成立,即可偏即可偏导导不一定可微不一定可微,见见下面反例下面反例.所以所以习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 解解例例1 1例例2 2解解多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导练习：练习：P75 习题习题9-31.(1)(4)2.3.证略证略第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数全导数全导数.解解例例1 1二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.链式法则如图示链式法则如图示二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.链式法则如图示链式法则如图示三、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形三、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形.即即又如又如,其中其中注意两者的区别注意两者的区别解解例例1 1解解例例2 2解解例例3 3或用求导法则，或用求导法则，解解令令记记例例4 4同理有同理有等等等等.于是于是练习：练习：P82 习题习题9-42.3.6.8.(3)11.第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 (证证略略)推推导导:例例1 1Kepler方程方程 例例2 2解解则则所以所以注注:也可用一元也可用一元隐隐函数求函数求导导法求解法求解:方程两方程两边边关于关于x求求导导,得得 解得解得二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 (证证略略)解法一解法一令令则则例例3 3解法二解法二例例3 3上式两上式两边边再次关于再次关于x求偏求偏导导,二、方程组的情形二、方程组的情形向量值隐函数存在定理向量值隐函数存在定理 Cramer法则：法则：则方程组有唯一解则方程组有唯一解对对x求偏求偏导导,得得 推导：推导：由由Cramer法法则则,由于系数行列式由于系数行列式 可以解出上述可以解出上述结结果果.解法一解法一 直接代入公式，此法麻烦直接代入公式，此法麻烦.解法二解法二运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，解方程组解方程组,将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项求导并移项,例例4 4将所给方程的两边对将所给方程的两边对y求导，用同样方法得求导，用同样方法得例例5 5解解解方程解方程组组得得 （分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则小结小结练习：练习：P89 习题习题9-51.3.6.7.9.10.(2)11.思考题思考题思考题解答思考题解答
