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碰碰碰碰 撞撞撞撞 几个工程实际问题几个工程实际问题 动力学普遍定理在动力学普遍定理在碰撞问题碰撞问题 中的应用中的应用 恢复系数恢复系数 碰撞问题举例碰撞问题举例 结论与讨论结论与讨论 碰撞现象碰撞现象 碰撞力碰撞力 撞击中心撞击中心115-1 碰撞现象碰撞现象碰撞力碰撞力 碰撞碰撞碰撞碰撞物体与物体之间，在极短的时间内，发生物体与物体之间，在极短的时间内，发生物体与物体之间，在极短的时间内，发生物体与物体之间，在极短的时间内，发生有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的撞击力的动力学过程。撞击力的动力学过程。撞击力的动力学过程。撞击力的动力学过程。碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运动效应。动效应。动效应。动效应。塑料塑料锤重锤重锤重锤重4.454.45N N;碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度 457.2 457.2 mm/smm/s;碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔 0.000440.00044s s;撞击力峰值撞击力峰值撞击力峰值撞击力峰值 1491 1491 N N，静载作用的静载作用的静载作用的静载作用的335335倍倍倍倍。铁锤打击钢板铁锤打击钢板铁锤打击钢板铁锤打击钢板2塑料塑料锤重锤重锤重锤重4.454.45N N;碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度 457.2 457.2 mm/smm/s;碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔 0.010.01s s;撞击力峰值撞击力峰值撞击力峰值撞击力峰值 244.8 244.8 N N，静载作用的静载作用的静载作用的静载作用的5555倍倍倍倍。铁锤打击人体铁锤打击人体铁锤打击人体铁锤打击人体 据有关资料介绍据有关资料介绍据有关资料介绍据有关资料介绍，一只，一只，一只，一只重重重重 17.817.8N N 的飞鸟与飞机相撞，的飞鸟与飞机相撞，的飞鸟与飞机相撞，的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是如果飞机速度是如果飞机速度是如果飞机速度是 800800km/h km/h，碰撞力可高达碰撞力可高达碰撞力可高达碰撞力可高达 3.55103.55105 5N N，即为鸟重的即为鸟重的即为鸟重的即为鸟重的 2 2万倍万倍万倍万倍 ！这就是航空上所谓！这就是航空上所谓！这就是航空上所谓！这就是航空上所谓“鸟祸鸟祸鸟祸鸟祸”的的的的原因之一。原因之一。原因之一。原因之一。3 撞击力的瞬时性撞击力的瞬时性撞击力的瞬时性撞击力的瞬时性撞击力在很短的时间间隔内发撞击力在很短的时间间隔内发撞击力在很短的时间间隔内发撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。Fmaxt/sF/N 碰撞冲量碰撞冲量碰撞冲量碰撞冲量撞击力在碰撞时间内的累积效应。撞击力在碰撞时间内的累积效应。撞击力在碰撞时间内的累积效应。撞击力在碰撞时间内的累积效应。4 研究碰撞问题的两点简化研究碰撞问题的两点简化 （1 1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计。（2 2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计位移可忽略不计位移可忽略不计位移可忽略不计。上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此在具体问题的分析中，一定要分清在具体问题的分析中，一定要分清在具体问题的分析中，一定要分清在具体问题的分析中，一定要分清碰撞过程碰撞过程碰撞过程碰撞过程和和和和一般过程一般过程一般过程一般过程；分清运动的三个阶段，即分清运动的三个阶段，即分清运动的三个阶段，即分清运动的三个阶段，即撞前的运动撞前的运动撞前的运动撞前的运动，碰撞阶段碰撞阶段碰撞阶段碰撞阶段和和和和撞后撞后撞后撞后的运动的运动的运动的运动。5 几个工程实际问题几个工程实际问题两个飞船对接后速度？两个飞船对接后速度？A Av vA Av vB BB Bm mA Am mB B6 几个工程实际问题几个工程实际问题 请注意撞击请注意撞击请注意撞击请注意撞击物与被撞击物物与被撞击物物与被撞击物物与被撞击物的特点！的特点！的特点！的特点！7 几个工程实际问题几个工程实际问题 请注意撞击请注意撞击请注意撞击请注意撞击物与被撞击物物与被撞击物物与被撞击物物与被撞击物的特点！的特点！的特点！的特点！8 几个工程实际问题几个工程实际问题 击球手的手握在哪里击球手的手握在哪里所受的撞击力最小？所受的撞击力最小？9 几个工程实际问题几个工程实际问题 请注意这一装请注意这一装置的功能，与碰置的功能，与碰撞有没有关系？撞有没有关系？10 几个工程实际问题几个工程实际问题 这与碰撞有这与碰撞有这与碰撞有这与碰撞有关系吗？关系吗？关系吗？关系吗？1115-2 用于碰撞过程的基本定理用于碰撞过程的基本定理1.1.用于碰撞过程的动量定理用于碰撞过程的动量定理用于碰撞过程的动量定理用于碰撞过程的动量定理冲量定理冲量定理冲量定理冲量定理质点：质点：质点：质点：质点系：质点系：质点系：质点系：质点系在碰撞开始和结束质点系在碰撞开始和结束质点系在碰撞开始和结束质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于时动量的变化，等于作用于时动量的变化，等于作用于时动量的变化，等于作用于质点系的质点系的质点系的质点系的外碰撞冲量外碰撞冲量外碰撞冲量外碰撞冲量的主矢。的主矢。的主矢。的主矢。I I碰撞冲量碰撞冲量碰撞冲量碰撞冲量122.2.用于碰撞过程的动量矩定理用于碰撞过程的动量矩定理用于碰撞过程的动量矩定理用于碰撞过程的动量矩定理冲量矩定理冲量矩定理冲量矩定理冲量矩定理由质点系动量矩定理：由质点系动量矩定理：由质点系动量矩定理：由质点系动量矩定理：根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：质点系在碰撞开始和结束时对点质点系在碰撞开始和结束时对点质点系在碰撞开始和结束时对点质点系在碰撞开始和结束时对点O O的动量矩的变化，等于作用于的动量矩的变化，等于作用于的动量矩的变化，等于作用于的动量矩的变化，等于作用于质点系的质点系的质点系的质点系的外碰撞冲量外碰撞冲量外碰撞冲量外碰撞冲量对同一点的主矩。对同一点的主矩。对同一点的主矩。对同一点的主矩。133.3.碰撞时定轴转动刚体的动力学方程碰撞时定轴转动刚体的动力学方程碰撞时定轴转动刚体的动力学方程碰撞时定轴转动刚体的动力学方程4.4.碰撞时平面运动刚体的动力学方程碰撞时平面运动刚体的动力学方程碰撞时平面运动刚体的动力学方程碰撞时平面运动刚体的动力学方程注意：注意：注意：注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量！以上各方程式中均不计普通力的冲量！以上各方程式中均不计普通力的冲量！以上各方程式中均不计普通力的冲量！1415-3 恢复系数恢复系数考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段tFtmt1t2I1I215tFtmt1t2mBmAmBmAvA vABvB vABvAB vAvAB vBI1I2I2I1I2I1考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段变形阶段变形阶段恢复阶段恢复阶段 恢复系数恢复系数恢复系数恢复系数碰撞碰撞碰撞碰撞的恢复阶段的恢复阶段的恢复阶段的恢复阶段的冲量与变形阶段的冲量之比，的冲量与变形阶段的冲量之比，的冲量与变形阶段的冲量之比，的冲量与变形阶段的冲量之比，用用用用 k k 表示：表示：表示：表示：16 恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系应用动量定理的积分形式，对于球应用动量定理的积分形式，对于球应用动量定理的积分形式，对于球应用动量定理的积分形式，对于球A A对于球对于球对于球对于球B B17 对于球对于球对于球对于球A A与固定平面的正碰撞情形与固定平面的正碰撞情形与固定平面的正碰撞情形与固定平面的正碰撞情形B BA Ah h2 2h h2 2h h1 1A Av vAAA Ah h2 2A Ah h2 2vvAA18 恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速度大小的比值是不变的。度大小的比值是不变的。度大小的比值是不变的。度大小的比值是不变的。对于确定的材料，恢复系数为常量。对于确定的材料，恢复系数为常量。对于确定的材料，恢复系数为常量。对于确定的材料，恢复系数为常量。恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也描述了物体变形的恢复程度。描述了物体变形的恢复程度。描述了物体变形的恢复程度。描述了物体变形的恢复程度。碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度19 恢复系数的取值范围恢复系数的取值范围恢复系数的取值范围恢复系数的取值范围2015-4 碰撞问题举例碰撞问题举例由由由由Av v vB BBv v vA AABAv vA Av vB BBBAv vABAB解得碰撞后两个球的速度分别为解得碰撞后两个球的速度分别为解得碰撞后两个球的速度分别为解得碰撞后两个球的速度分别为例例例例 题题题题 1 121碰撞前系统的总动能碰撞前系统的总动能碰撞前系统的总动能碰撞前系统的总动能碰撞后系统的总动能碰撞后系统的总动能碰撞后系统的总动能碰撞后系统的总动能碰撞前、后系统动能的变化碰撞前、后系统动能的变化碰撞前、后系统动能的变化碰撞前、后系统动能的变化Av v vB BBv v vA AABAv vA Av vB BBBAv vABAB22碰撞前、后系统动能的变化碰撞前、后系统动能的变化碰撞前、后系统动能的变化碰撞前、后系统动能的变化两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化完全弹性碰撞完全弹性碰撞完全弹性碰撞完全弹性碰撞 k=k=1 1,T=TT=T2 2T T1 1=0 0。碰撞过程中没有能量损失。碰撞过程中没有能量损失。碰撞过程中没有能量损失。碰撞过程中没有能量损失。23塑性碰撞塑性碰撞塑性碰撞塑性碰撞 k=k=0 0,动能损失为动能损失为动能损失为动能损失为 若若若若 v vB B=0 024 锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 m mA Ag g;汽锤的铁砧与桩汽锤的铁砧与桩汽锤的铁砧与桩汽锤的铁砧与桩的重量均为的重量均为的重量均为的重量均为 m mB Bg g。汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为 v vA A试分析试分析试分析试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。例例例例 题题题题 2 225 锤头的动能绝大部分转变为锤头的动能绝大部分转变为锤头的动能绝大部分转变为锤头的动能绝大部分转变为被锻造金属的塑性变形能。被锻造金属的塑性变形能。被锻造金属的塑性变形能。被锻造金属的塑性变形能。m mA A m mB Bm mA A m mB B 锤头的动能绝大部分转变为锤头的动能绝大部分转变为锤头的动能绝大部分转变为锤头的动能绝大部分转变为锤头与桩一起运动的动能。锤头与桩一起运动的动能。锤头与桩一起运动的动能。锤头与桩一起运动的动能。汽锤传递的动量一定时，铁汽锤传递的动量一定时，铁汽锤传递的动量一定时，铁汽锤传递的动量一定时，铁砧质量砧质量砧质量砧质量m mB B越大，其速度越大，其速度越大，其速度越大，其速度v vB B 越小。越小。越小。越小。打桩传递的动量一定时，桩打桩传递的动量一定时，桩打桩传递的动量一定时，桩打桩传递的动量一定时，桩的质量的质量的质量的质量m mB B越小，其速度越小，其速度越小，其速度越小，其速度v vB B 越大。越大。越大。越大。26A Av vA Av vB BB Bm mA Am mB B求：求：求：求：1.1.对接成功后，联合体的质心速度；对接成功后，联合体的质心速度；对接成功后，联合体的质心速度；对接成功后，联合体的质心速度；2.2.对接不成功，恢复系数对接不成功，恢复系数对接不成功，恢复系数对接不成功，恢复系数e=0.95,e=0.95,碰撞后二者的速度。碰撞后二者的速度。碰撞后二者的速度。碰撞后二者的速度。(以上分析中均可略去飞船的以上分析中均可略去飞船的以上分析中均可略去飞船的以上分析中均可略去飞船的转动转动转动转动)例例例例 题题题题 3 327解：解：解：解：1.1.对接成功时联合体的质心速度对接成功时联合体的质心速度对接成功时联合体的质心速度对接成功时联合体的质心速度可以直接应用动量守恒关系式可以直接应用动量守恒关系式可以直接应用动量守恒关系式可以直接应用动量守恒关系式这时，这时，这时，这时，于是，有于是，有于是，有于是，有28解：解：解：解：2.2.对接不成功时，二飞船的速度对接不成功时，二飞船的速度对接不成功时，二飞船的速度对接不成功时，二飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在不考虑对接处的摩擦，二飞船在不考虑对接处的摩擦，二飞船在不考虑对接处的摩擦，二飞船在y y、z z方向上的方向上的方向上的方向上的速度分量速度分量速度分量速度分量保持不变；在保持不变；在保持不变；在保持不变；在x x方向上二飞船动量守恒：方向上二飞船动量守恒：方向上二飞船动量守恒：方向上二飞船动量守恒：同时利用恢复系数与速度的关系式同时利用恢复系数与速度的关系式同时利用恢复系数与速度的关系式同时利用恢复系数与速度的关系式29考虑到碰撞前后，二飞船在考虑到碰撞前后，二飞船在考虑到碰撞前后，二飞船在考虑到碰撞前后，二飞船在y y、z z方向上的速度不变，即方向上的速度不变，即方向上的速度不变，即方向上的速度不变，即最后得到碰撞后，二飞船最后得到碰撞后，二飞船最后得到碰撞后，二飞船最后得到碰撞后，二飞船的速度分别为的速度分别为的速度分别为的速度分别为301 1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？2 2、这种碰撞具有什么特点？、这种碰撞具有什么特点？、这种碰撞具有什么特点？、这种碰撞具有什么特点？请注意：请注意：311 1、主要是来球和回球方向两次碰撞。主要是来球和回球方向两次碰撞。主要是来球和回球方向两次碰撞。主要是来球和回球方向两次碰撞。2 2、摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于球拍击出的速度。球拍击出的速度。球拍击出的速度。球拍击出的速度。32 来球与球拍的碰撞来球与球拍的碰撞来球与球拍的碰撞来球与球拍的碰撞挥拍击来球，挥拍击来球，挥拍击来球，挥拍击来球，球受球受球受球受 F FN1 N1 和和和和 F F1 1 两个力。两个力。两个力。两个力。F FN1 N1 为法向正为法向正为法向正为法向正压力；压力；压力；压力；F F1 1 为摩擦力。而且，为摩擦力。而且，为摩擦力。而且，为摩擦力。而且，F F1 1 F FN1 N1。碰撞后，球在前进的同时发生旋转。碰撞后，球在前进的同时发生旋转。碰撞后，球在前进的同时发生旋转。碰撞后，球在前进的同时发生旋转。应用刚体平面运动的积分形式应用刚体平面运动的积分形式应用刚体平面运动的积分形式应用刚体平面运动的积分形式 回球与台面的碰撞回球与台面的碰撞回球与台面的碰撞回球与台面的碰撞由于由于由于由于F F1 1 F FN1 N1，使得顺时针旋转的球的角速使得顺时针旋转的球的角速使得顺时针旋转的球的角速使得顺时针旋转的球的角速度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。因而，台面对球的切向碰撞力因而，台面对球的切向碰撞力因而，台面对球的切向碰撞力因而，台面对球的切向碰撞力(摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力F F2 2)与球的运动方向相同，与球的运动方向相同，与球的运动方向相同，与球的运动方向相同，从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。33 回球与台面的碰撞回球与台面的碰撞回球与台面的碰撞回球与台面的碰撞n nx xv v2 2v v2 2 又因为又因为又因为又因为F F2 2与球的运动方向相同，上述积分恒为正，与球的运动方向相同，上述积分恒为正，与球的运动方向相同，上述积分恒为正，与球的运动方向相同，上述积分恒为正，于是，有于是，有于是，有于是，有 假设球与台面的碰撞为完假设球与台面的碰撞为完假设球与台面的碰撞为完假设球与台面的碰撞为完全弹性碰撞全弹性碰撞全弹性碰撞全弹性碰撞.34OC例例例例 题题题题 4 4已知已知已知已知：mmA A=0.05kg,=0.05kg,m mB B=25kg,=25kg,l=l=1.5m,1.5m,求求求求：（1 1）弹丸入射后木板的角速度；）弹丸入射后木板的角速度；）弹丸入射后木板的角速度；）弹丸入射后木板的角速度；（2 2）O O 处碰撞力的平均值。处碰撞力的平均值。处碰撞力的平均值。处碰撞力的平均值。=60,=60,v vA A=450m/s,=450m/s,=0.0002s0.0002s解解解解：取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对O O轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。IxIyvC解得：解得：解得：解得：vACOA35OC由由由由动量定理，得动量定理，得动量定理，得动量定理，得 IxIyvC解得：解得：解得：解得：vACOA36CAB例例例例 题题题题 5 5已知已知已知已知：l=l=1m,1m,k k=0.5,=0.5,f f=0.25,=0.25,杆和球质量相等。杆和球质量相等。杆和球质量相等。杆和球质量相等。求求求求：经过多长时间后，球开始纯滚。经过多长时间后，球开始纯滚。经过多长时间后，球开始纯滚。经过多长时间后，球开始纯滚。解解解解：本题可分为碰撞前、碰撞和碰撞后三个本题可分为碰撞前、碰撞和碰撞后三个本题可分为碰撞前、碰撞和碰撞后三个本题可分为碰撞前、碰撞和碰撞后三个 阶段，分别进行计算。阶段，分别进行计算。阶段，分别进行计算。阶段，分别进行计算。（1 1）碰撞前阶段）碰撞前阶段）碰撞前阶段）碰撞前阶段 取取取取ABAB杆为研究对象，根据动能定理，有杆为研究对象，根据动能定理，有杆为研究对象，根据动能定理，有杆为研究对象，根据动能定理，有37CIAII IvC（2 2）碰撞阶段）碰撞阶段）碰撞阶段）碰撞阶段 AB 分别取分别取分别取分别取ABAB杆和圆球为研究对象，杆和圆球为研究对象，杆和圆球为研究对象，杆和圆球为研究对象，进行分析计算。进行分析计算。进行分析计算。进行分析计算。对杆对杆对杆对杆ABAB，有有有有 对球对球对球对球C C，有有有有根据恢复系数的定义根据恢复系数的定义根据恢复系数的定义根据恢复系数的定义，有有有有38CaCmgFNF（3 3）碰撞后阶段）碰撞后阶段）碰撞后阶段）碰撞后阶段 根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有由运动学可知由运动学可知由运动学可知由运动学可知由平面运动可知，当由平面运动可知，当由平面运动可知，当由平面运动可知，当 时，轮开始纯滚时，轮开始纯滚时，轮开始纯滚时，轮开始纯滚 解得：解得：解得：解得：39 突加约束问题突加约束问题 运动的刚体运动的刚体运动的刚体运动的刚体突然受到其他突然受到其他突然受到其他突然受到其他物体的阻碍，物体的阻碍，物体的阻碍，物体的阻碍，发生碰撞，在发生碰撞，在发生碰撞，在发生碰撞，在接触处发生完接触处发生完接触处发生完接触处发生完全不可恢复的全不可恢复的全不可恢复的全不可恢复的变形，亦即产变形，亦即产变形，亦即产变形，亦即产生完全非弹性生完全非弹性生完全非弹性生完全非弹性碰撞碰撞碰撞碰撞突然施突然施突然施突然施加约束加约束加约束加约束，简称，简称，简称，简称突加约束突加约束突加约束突加约束。4041C Cv vC Ch h例例例例 题题题题 6 6 质量为质量为质量为质量为m m、半径为半径为半径为半径为r r的均的均的均的均质圆柱体，以质心速度质圆柱体，以质心速度质圆柱体，以质心速度质圆柱体，以质心速度v vC C求求求求：碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量：碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量：碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量：碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量在水平面上自左向右作无滑动的滚动，在水平面上自左向右作无滑动的滚动，在水平面上自左向右作无滑动的滚动，在水平面上自左向右作无滑动的滚动，运动过程中，突然遇到高度为运动过程中，突然遇到高度为运动过程中，突然遇到高度为运动过程中，突然遇到高度为 h h(h rh r)的凸台，发生完全非弹性碰撞。的凸台，发生完全非弹性碰撞。的凸台，发生完全非弹性碰撞。的凸台，发生完全非弹性碰撞。解：解：解：解：1 1、碰撞过程分析、碰撞过程分析、碰撞过程分析、碰撞过程分析C COOn n C Cv vC COO n n h hO Ov vC Ch hO OmgFFN I In nI I 碰撞前碰撞前碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后碰撞后碰撞后42C COOn n v vC Ch hO O I In nI I I I 和和和和I In n通过通过通过通过O O点，点，点，点，MMO O(I Ie e)0 0碰撞前后圆柱体对碰撞前后圆柱体对碰撞前后圆柱体对碰撞前后圆柱体对O O点动量矩守恒点动量矩守恒点动量矩守恒点动量矩守恒解：解：解：解：2 2、确定碰撞后的速度和角速度、确定碰撞后的速度和角速度、确定碰撞后的速度和角速度、确定碰撞后的速度和角速度碰撞前碰撞前碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后碰撞后碰撞后C Cv vC COO n n h hO O43解：解：解：解：3 3、计算碰撞冲量、计算碰撞冲量、计算碰撞冲量、计算碰撞冲量 应用平面运动微分方程的积分形式应用平面运动微分方程的积分形式应用平面运动微分方程的积分形式应用平面运动微分方程的积分形式C COOn n v vC Ch hO O I In nI I C Cv vC COO n n h hO O其中：其中：其中：其中：44l/2l/2ADBC例例例例 题题题题 7 7已知已知已知已知：两直杆铰接后水平地落到两直杆铰接后水平地落到两直杆铰接后水平地落到两直杆铰接后水平地落到一支座上，到达支座时速度为一支座上，到达支座时速度为一支座上，到达支座时速度为一支座上，到达支座时速度为 v v，并假定碰撞是塑性的。并假定碰撞是塑性的。并假定碰撞是塑性的。并假定碰撞是塑性的。求求求求：碰撞时动能的损失。碰撞时动能的损失。碰撞时动能的损失。碰撞时动能的损失。BECABD ABAB BCBCv vE EI ID D解：解：解：解：分别取两杆为研究对象分别取两杆为研究对象分别取两杆为研究对象分别取两杆为研究对象由于碰撞是塑性的，对由于碰撞是塑性的，对由于碰撞是塑性的，对由于碰撞是塑性的，对AB AB 杆有杆有杆有杆有对对对对BC BC 杆，有杆，有杆，有杆，有其中：其中：其中：其中：I IB BI IB B45BECABD ABAB BCBCv vE EI ID D由于碰撞是塑性的，对由于碰撞是塑性的，对由于碰撞是塑性的，对由于碰撞是塑性的，对ABAB杆有杆有杆有杆有对对对对BCBC杆，有杆，有杆，有杆，有其中：其中：其中：其中：解得：解得：解得：解得：I IB BI IB B46BECABD ABAB BCBCv vE EI ID D解得：解得：解得：解得：I IB BI IB B碰撞结束后系统的动能：碰撞结束后系统的动能：碰撞结束后系统的动能：碰撞结束后系统的动能：碰撞前系统的动能：碰撞前系统的动能：碰撞前系统的动能：碰撞前系统的动能：4715-5 撞击中心撞击中心O OC Cx xy yI IOxOxI IOyOyI I 具有质量对称平面的刚体绕垂具有质量对称平面的刚体绕垂具有质量对称平面的刚体绕垂具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。直于对称平面的固定轴转动。直于对称平面的固定轴转动。直于对称平面的固定轴转动。当刚体受到位于对称平面内的当刚体受到位于对称平面内的当刚体受到位于对称平面内的当刚体受到位于对称平面内的碰撞冲量作用时，刚体的转动角碰撞冲量作用时，刚体的转动角碰撞冲量作用时，刚体的转动角碰撞冲量作用时，刚体的转动角速度将发生变化，同时在转动轴速度将发生变化，同时在转动轴速度将发生变化，同时在转动轴速度将发生变化，同时在转动轴的轴承支承处将产生相应的碰撞的轴承支承处将产生相应的碰撞的轴承支承处将产生相应的碰撞的轴承支承处将产生相应的碰撞约束力。约束力。约束力。约束力。刚体上，能够使碰撞约束力等刚体上，能够使碰撞约束力等刚体上，能够使碰撞约束力等刚体上，能够使碰撞约束力等于零的主动力的碰撞冲量作用点，于零的主动力的碰撞冲量作用点，于零的主动力的碰撞冲量作用点，于零的主动力的碰撞冲量作用点，称为称为称为称为撞击中心撞击中心撞击中心撞击中心，或，或，或，或打击中心打击中心打击中心打击中心。48O OC Cx xy yI IOxOxI IOyOyI I 应用冲量定理应用冲量定理应用冲量定理应用冲量定理其中：其中：其中：其中：如果外碰撞冲量如果外碰撞冲量如果外碰撞冲量如果外碰撞冲量 I I 作用在物体对称平面内，并且作用在物体对称平面内，并且作用在物体对称平面内，并且作用在物体对称平面内，并且满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。轴承处不发生碰撞。轴承处不发生碰撞。轴承处不发生碰撞。49O OC Cx xy yI IaKl 1 1 2 2 当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的撞击中心撞击中心撞击中心撞击中心，且垂，且垂，且垂，且垂直于支点与质心的连线时，在支点处不引起碰撞冲量。直于支点与质心的连线时，在支点处不引起碰撞冲量。直于支点与质心的连线时，在支点处不引起碰撞冲量。直于支点与质心的连线时，在支点处不引起碰撞冲量。由（由（由（由（1 1）可知，外碰撞冲量必须垂）可知，外碰撞冲量必须垂）可知，外碰撞冲量必须垂）可知，外碰撞冲量必须垂直于支点与质心的连线。直于支点与质心的连线。直于支点与质心的连线。直于支点与质心的连线。应用冲量矩定理应用冲量矩定理应用冲量矩定理应用冲量矩定理由（由（由（由（2 2）得：）得：）得：）得：K撞击中心撞击中心50ChI 一半径为一半径为一半径为一半径为 r r 的均质球静止的均质球静止的均质球静止的均质球静止放置在水平地面上，今在球放置在水平地面上，今在球放置在水平地面上，今在球放置在水平地面上，今在球上上上上 A A 点作用一水平冲量点作用一水平冲量点作用一水平冲量点作用一水平冲量 I I，欲使球开始滚动而不滑动，欲使球开始滚动而不滑动，欲使球开始滚动而不滑动，欲使球开始滚动而不滑动，则则则则A A点距地面的高度应为点距地面的高度应为点距地面的高度应为点距地面的高度应为 h=h=思考题思考题51 结论与讨论结论与讨论_本章基本内容本章基本内容本章基本内容本章基本内容 碰撞的力学特征碰撞的力学特征碰撞的力学特征碰撞的力学特征 撞击力的瞬时性撞击力在很短的时间间隔内发生撞击力的瞬时性撞击力在很短的时间间隔内发生撞击力的瞬时性撞击力在很短的时间间隔内发生撞击力的瞬时性撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。撞击过程中能量的急撞击过程中能量的急撞击过程中能量的急撞击过程中能量的急剧转换撞击过程中，剧转换撞击过程中，剧转换撞击过程中，剧转换撞击过程中，各种机械能之间、机械各种机械能之间、机械各种机械能之间、机械各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间能与其他形式能量之间能与其他形式能量之间能与其他形式能量之间以极快的速度转换。以极快的速度转换。以极快的速度转换。以极快的速度转换。Fmaxt/sF/NOt1t2 碰撞冲量撞击力在碰撞冲量撞击力在碰撞冲量撞击力在碰撞冲量撞击力在碰撞时间内的累积效应。碰撞时间内的累积效应。碰撞时间内的累积效应。碰撞时间内的累积效应。52 研究研究研究研究碰撞问题的两点简化碰撞问题的两点简化碰撞问题的两点简化碰撞问题的两点简化 在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计弹性力等）的冲量可忽略不计弹性力等）的冲量可忽略不计弹性力等）的冲量可忽略不计。在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计忽略不计忽略不计忽略不计。研究研究研究研究碰撞问题的注意点碰撞问题的注意点碰撞问题的注意点碰撞问题的注意点 分清碰撞过程和非碰撞过程；分清碰撞过程和非碰撞过程；分清碰撞过程和非碰撞过程；分清碰撞过程和非碰撞过程；分清碰撞过程中平常力和碰撞力；分清碰撞过程中平常力和碰撞力；分清碰撞过程中平常力和碰撞力；分清碰撞过程中平常力和碰撞力；分清内、外碰撞冲量，以确定系统的动量和动量矩是分清内、外碰撞冲量，以确定系统的动量和动量矩是分清内、外碰撞冲量，以确定系统的动量和动量矩是分清内、外碰撞冲量，以确定系统的动量和动量矩是否守恒。否守恒。否守恒。否守恒。53 动力学普遍定理在碰撞问题中的应用动力学普遍定理在碰撞问题中的应用动力学普遍定理在碰撞问题中的应用动力学普遍定理在碰撞问题中的应用 动量定理的积分形式动量定理的积分形式动量定理的积分形式动量定理的积分形式 动量矩定理的积分形式动量矩定理的积分形式动量矩定理的积分形式动量矩定理的积分形式54 刚体定轴转动运动微分方程的积分形式刚体定轴转动运动微分方程的积分形式刚体定轴转动运动微分方程的积分形式刚体定轴转动运动微分方程的积分形式 刚体平面运动微分方程的积分形式刚体平面运动微分方程的积分形式刚体平面运动微分方程的积分形式刚体平面运动微分方程的积分形式注意：注意：注意：注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量以上各方程式中均不计普通力的冲量以上各方程式中均不计普通力的冲量以上各方程式中均不计普通力的冲量 和系统的内碰撞冲量和系统的内碰撞冲量和系统的内碰撞冲量和系统的内碰撞冲量！55 恢复系数恢复系数恢复系数恢复系数 两球的正碰撞两球的正碰撞两球的正碰撞两球的正碰撞 两球的斜碰撞两球的斜碰撞两球的斜碰撞两球的斜碰撞 碰撞系数表达式的一般形式碰撞系数表达式的一般形式碰撞系数表达式的一般形式碰撞系数表达式的一般形式Av v vB BBv v vA AABv vA AA AB Bm mm m碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度56 撞击中心撞击中心 对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞约束力。约束力。约束力。约束力。撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线上；撞击中心到转轴的垂直距离为线上；撞击中心到转轴的垂直距离为线上；撞击中心到转轴的垂直距离为线上；撞击中心到转轴的垂直距离为式中式中式中式中 a a 是质心到轴心的距离。是质心到轴心的距离。是质心到轴心的距离。是质