差分方程性质.ppt

截断误差和相容性截断误差和相容性 以格式为例 i-1ijj+1如果当、-时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零即：，则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容。如果截断误差的范数不趋于零，则称为不相容，这样的差分方程不能用来逼近微分方程。离散误差与离散误差与收敛性收敛性 所谓相容性,是指当自变量的步长趋于零时,差分格式与微分问题的截误差的范数是否趋于零,从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。然而方程是物理问题的数学表达形式,其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。因此,除了必需要求差分格式能逼近微分方程和定解条件外,还进一步要求差分格式的解(精确解)与微分方程定解问题的解(精确解)是一致的。即当步长趋于零时,要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。更明确地说,对差分网格上的任意结点(i,j),也是微分问题定解区域上的一固定点,设差分格式在此点的解为 ,相应的微分问题的解为,二者之差为：称为离散化误差。如果当-、-时,离散化误差的某种范数趋近于零,即：则说明此差分格式是收敛的,即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解,否则不收敛。与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。误差传播与稳定性误差传播与稳定性 在有限差分法的具体运算中,计算误差总是不可避免的,如舍入误差,以及这种误差的传播、积累。然而人们通过大量的实践和理论分析发现,同一问题的各种差分格式在某一定条件下,若计算中某处产生了误差,则这个误差将对以后的计算产生影响。如果这一误差对以后的影响越来越小,或是这个影响保持在某个限度以内,那么就称这个差分格式在给定的条件下稳定,这个条件就是它的稳定准则。如果误差的影响随着的增大越来越大,使计算的结果随着的增大越来越偏离差分格式的精确解,而毫无实用价值,那么这种情况就是不稳定的。单增长型的不稳定称为静力不稳定性。除非改变格式,否则这种不稳定性是无法消除的。过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定。显然,这种不稳定可以用限制的办法消除,对应的稳定状态称为条件稳定,对的限制称为稳定条件或稳定准则。LaxLax等价定理等价定理 讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。相容性是收敛性的必要条件;还发现,稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间的关系的。Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式,如果该格式稳定则必收敛,不稳定必不收敛。换言之,若线性微分问题适定,差分格式相容,则稳定性是收敛性的必要和充分的条件。这也可表示为：稳定性 收敛性