二重积分计算法(考研精华课件).ppt

第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、利用对称性计算二重积分三、利用对称性计算二重积分（一）直角坐标系中平面区域的分类与表示（一）直角坐标系中平面区域的分类与表示一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分平面区域平面区域简单区域简单区域非简单区域非简单区域X-型区域：型区域：Y-型区域：型区域：（可用平行于坐标轴的直线划分为若干个（可用平行于坐标轴的直线划分为若干个 间单区域）间单区域）（二）在直角坐标系中化二重积分为二次积分（二）在直角坐标系中化二重积分为二次积分1.1.若若D为为X-型区域型区域，即，即 则则2.2.若若D为为Y-型区域型区域,即即则则推导：推导：由定积分的几何意义，由定积分的几何意义，等于以等于以D为底，为底，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积V即即另一方面，该曲顶柱体又可以看作另一方面，该曲顶柱体又可以看作平行截面面积平行截面面积A(x)为已知的立体的体积为已知的立体的体积设设故故以曲面以曲面为顶的为顶的例例1 1 计算计算其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.将将D看作看作X型区域型区域,则则将将D看作看作Y型区域型区域,则则解法解法1 1解法解法2 2计算计算其中其中D是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.及及直线直线例例2 2解解例例3 3 计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解注注下列积分下列积分“积积”不出来不出来:等等.利用直角坐标计算二重积分的一般步骤利用直角坐标计算二重积分的一般步骤:算积分算积分画图形画图形辨类型辨类型观函数观函数定次序定次序表区域表区域化累次化累次二重积分的计算二重积分的计算,积分次序是关键积分次序是关键.一画积分区域图一画积分区域图,二辨区域的类型二辨区域的类型,三观被积之函数三观被积之函数,四定次序表区域四定次序表区域,五化累次算积分五化累次算积分.例例4 4计算计算其中其中D由曲线由曲线和直线和直线围成围成.解解解解例例6 6 交换积分交换积分的次序的次序.解解解解例例8 8计算计算解解二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分(一一)极坐标的概念极坐标的概念有序数组有序数组 称为点称为点M的极坐标的极坐标,其中其中 为点为点M到到极点极点O的距离的距离,为极轴为极轴Ox按逆时针方向转到射线按逆时针方向转到射线OM的角的角.规定规定:或或其中其中:极径极径极角极角(二二)极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系(三三)平面区域在极坐标系中的面积元素平面区域在极坐标系中的面积元素(四四)极坐标系中平面区域的分类与表示极坐标系中平面区域的分类与表示平面区域平面区域简单区域简单区域非简单区域非简单区域（可用从极点出发的射线与以极点为圆心（可用从极点出发的射线与以极点为圆心 的同心圆划分为若干个间单区域）的同心圆划分为若干个间单区域）(五五)二重积分从直角坐标到极坐标的转换公式二重积分从直角坐标到极坐标的转换公式(六六)极坐标系中化二重积分为二次积分的方法极坐标系中化二重积分为二次积分的方法若若则则注注积分次序为先对积分次序为先对 后对后对(七七)适合选用极坐标计算的情形适合选用极坐标计算的情形(1)积分域积分域 D与圆有关与圆有关;(2)被积函数形如被积函数形如例例9 计算计算，其中，其中 解解解解例例1010 计算计算其中其中D 为由半圆为由半圆所围成的所围成的及及直线直线平面闭区域平面闭区域.例例11 计算计算，其中，其中D由曲由曲线线 及及 y 轴围成轴围成.解解例例1212 将二重积分将二重积分 化为极坐标形式的化为极坐标形式的二次积分二次积分,其中其中 D为为:(1)由圆由圆 围成的闭区域围成的闭区域;(2)由圆由圆 围成的闭区域围成的闭区域.解解(2)(1)三、利用对称性计算二重积分三、利用对称性计算二重积分1.积分域积分域 D关于关于 x 轴对称轴对称,则则是关于是关于 y 的奇函数的奇函数是关于是关于 y 的偶函数的偶函数2.积分域积分域 D关于关于 y 轴对称轴对称,则则是关于是关于 x 的奇函数的奇函数是关于是关于 x 的偶函数的偶函数例例1313 计算计算其中其中D 由由所围成所围成.解解由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得解法一解法一 由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得解法二解法二 由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得xyo2-1思考题思考题思考题解答思考题解答另一方面另一方面,令令