3-6 非齐次线性方程组解的结构.ppt

主要内容主要内容一一.非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质与结构、计算非齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是线性方程组的理论基础，它们在实际方法都是线性方程组的理论基础，它们在实际应用与研究上都十分重要，我们必须熟练掌握应用与研究上都十分重要，我们必须熟练掌握.二二.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构三三.非齐次线性方程组解的计算方法非齐次线性方程组解的计算方法11一一.非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质设有线性方程组设有线性方程组其矩阵方程为其矩阵方程为若令若令，线性方程组，线性方程组21称为方程组（称为方程组（3.16）的导出组）的导出组,其矩阵方程为其矩阵方程为证证是其是其导出组（导出组（3.17）的）的解向量解向量.性质性质1 1 若若是线性方程组（是线性方程组（3.16）的任意两个解，则）的任意两个解，则因为因为 是方程组（是方程组（3.16）的解，故）的解，故31的任意一个解，则的任意一个解，则性质性质2 2 若若方程组（方程组（3.16）的解，）的解，是其导出组是其导出组（3.17）仍是方程组仍是方程组（3.16）的解。）的解。证证 因为因为二二.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构41（3.17）的通解，即）的通解，即定理定理3.11 若若是方程组（是方程组（3.16）的一个解，）的一个解，是其导出组是其导出组其中其中是其导出组是其导出组（3.17）的基础解系）的基础解系,则则证证 由性质由性质2必是方程组（必是方程组（3.16）的解）的解.表示了方程组（表示了方程组（3.16）的全部解，其中）的全部解，其中为任意常数为任意常数.下面证明，方程组（下面证明，方程组（3.16）的任意一个解）的任意一个解 也一定具有也一定具有（3.18）的形式）的形式.51即存在常数即存在常数 ，使得，使得因此必定可由导出组（因此必定可由导出组（3.17）的基础解系线性表出）的基础解系线性表出由性质由性质1 1一定是导出组（一定是导出组（3.17）的解）的解因此方程组（因此方程组（3.16）的任意一个解可表示为（）的任意一个解可表示为（3.18）的形式）的形式.其中其中是方程组（是方程组（3.16）的一个特解）的一个特解,（3.18）式称为）式称为方程组（方程组（3.16）的）的结构式通解结构式通解,简称简称通解通解.61注注1 1 若由定理若由定理3.10知，知，当方程组（当方程组（3.16）有解时，它有唯）有解时，它有唯一解的充要条件是其导出组（一解的充要条件是其导出组（3.17）仅有零解）仅有零解;它有无穷解它有无穷解的充要条件是其导出组有无穷多解的充要条件是其导出组有无穷多解.由定理由定理3.11可得求解非齐次线性方程组可得求解非齐次线性方程组通解通解的步骤的步骤 （1）对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形）对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形阶梯矩阵；阶梯矩阵；（2）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方程组；程组；三三.非齐次线性方程组解的计算方法非齐次线性方程组解的计算方法71 （5）写出非齐次方程组的通解）写出非齐次方程组的通解 （4）写出非齐次方程组的特解）写出非齐次方程组的特解 ；（3）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个基础解系基础解系 ，并写出齐次方程组的通解；，并写出齐次方程组的通解；例例1 1 求解方程组求解方程组81解解91101111解解例例2 2 求下述方程组的解求下述方程组的解121所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.继续进行初等行变换，得继续进行初等行变换，得131所以所以B矩阵的列向量组中，矩阵的列向量组中，是一个极大线性无关组是一个极大线性无关组故得导出组的基础解系故得导出组的基础解系141求原方程组的一个特解为求原方程组的一个特解为所以方程组的通解为所以方程组的通解为151161例例3 3 已知已知是四元非齐次线性求方程组是四元非齐次线性求方程组AX=B的的三个解三个解,求方程组求方程组AX=B的通解的通解.解解由题设由题设因为因为所以所以是导出组的解是导出组的解.171即导出组的基础解系只含有一个解向量即导出组的基础解系只含有一个解向量.故原方程组的通解故原方程组的通解.181解解191201齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法（1）对系数矩阵对系数矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行最进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵简形矩阵四、小结四、小结211由于由于令令（2）得出得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量221故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.231()()nBRAR=()()nBRAR=线性方程组解的情况线性方程组解的情况241与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解251线性方程组的解法线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2）利用初等变换）利用初等变换特点：特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题命题特点：特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法261思考题思考题1271思考题思考题1解答解答281291解解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解.思考题思考题2设线性方程组设线性方程组已知已知 是该方程组的一个解，试求方程组的全部是该方程组的一个解，试求方程组的全部【分析分析】含未知参数的线性方程组的求解含未知参数的线性方程组的求解,当系数矩阵当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形,然然后对参数进行讨论后对参数进行讨论.由于本题已知了方程组的一个解由于本题已知了方程组的一个解,于于是可先由它来是可先由它来(部分部分)确定未知参数确定未知参数.301将将代入方程组，得代入方程组，得对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 施以初等行变换施以初等行变换,得得，当当时，有时，有，思考题思考题2解答解答311即方程组有无穷多解，且即方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 故方程组的全部解为故方程组的全部解为其中其中k为任意常数为任意常数，当当时，有时，有321，故方程组有无穷多解，且，故方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 故方程组的全部解为故方程组的全部解为其中其中 为任意常数为任意常数331