相似矩阵与相似对角化(精品).ppt

二二.相似矩阵的定义及性质相似矩阵的定义及性质定义定义:设设 都是都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得，使得则称矩阵则称矩阵 是矩阵是矩阵 的的相似矩阵，相似矩阵，对对 进行运算进行运算 称为对称为对 进行进行相似变换，相似变换，可逆矩阵可逆矩阵 称为把矩阵称为把矩阵 变成矩阵变成矩阵 的的相似变换矩阵。相似变换矩阵。或称矩阵或称矩阵 与矩阵与矩阵 相似，相似，记作记作注：注：矩阵相似是一种等价关系矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：）反身性：（2）对称性：若）对称性：若 则则（3）传递性：若）传递性：若 则则1性质性质1:相似矩阵有相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：推论：若矩阵若矩阵 与对角阵与对角阵 相似，相似，则则 是是 的的 个特征值。个特征值。2(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：其它的有关相似矩阵的性质：(3)若若 与与 相似，则相似，则 与与 相似。（相似。（为正整数）为正整数）(5)(6)（为任意常数）为任意常数）(2)若若 与与 相似，则相似，则 与与 相似。（相似。（为正整数）为正整数）(4)若若 与与 相似，而相似，而 是一个多项式，是一个多项式，则则 与与 相似。相似。3（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注注：（1）与单位矩阵相似的与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵阶矩阵只有单位阵E本身，本身，与数量矩阵与数量矩阵kE 相似相似的的n阶方阵只有数量阵阶方阵只有数量阵kE本身。本身。三三.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）（利用相似变换把方阵对角化）对对 阶方阵阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵，如果可以找到可逆矩阵 ，使得使得 为对角阵，就称为为对角阵，就称为把方阵把方阵 对角化。对角化。4定理定理1：阶矩阵阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）可对角化（与对角阵相似）有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。（2）可逆矩阵）可逆矩阵 由由 的的 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 作列向量构成。作列向量构成。(逆命题不成立逆命题不成立)推论：推论：若若 阶方阵阶方阵 有有 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,则则 可对角化。（与对角阵相似）可对角化。（与对角阵相似）注注：（1）若）若 则则 的主对角元素即为的主对角元素即为 的特征值，的特征值，矩阵矩阵 的的相似标准形。相似标准形。如果不计如果不计 的排列顺序，则的排列顺序，则 唯一，称之为唯一，称之为5例例1:1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解:得得6得基础解系得基础解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为7得基础解系得基础解系线性无关线性无关即即A有有3个个线性无关的特征向量，所以线性无关的特征向量，所以A可以对角化。可以对角化。8得基础解系得基础解系所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为9解：解：例例2 2：设：设若能若能对角化，求出可逆矩阵对角化，求出可逆矩阵 使得使得 为对角阵。为对角阵。问问 能否对角化？能否对角化？10得基础解系得基础解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为11得得基础解系基础解系线性无关，线性无关，可以对角化。可以对角化。令令则有则有12注意：注意：若令若令即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应位置要相互对应则有则有13把把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。在理论和应用上都有意义。可可对角化的矩阵主要有以下对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例例3：已知方阵：已知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是求求矩阵矩阵14解：因为特征向量是解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵 是是3 阶方阵。阶方阵。因为因为 有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。即即存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ,使得使得其中其中求得求得15162.求方阵的幂求方阵的幂例例4：设：设 求求解：解：可以对角化。可以对角化。齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得基础解系得基础解系:17齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得基础解系得基础解系:令令求得求得即即存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ,使得使得18193.求行列式求行列式例例5：设：设 是是 阶方阵，阶方阵，是是 的的 个特征值，个特征值，计算计算解解：方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。再求乘积即为行列式的值。设设的的特征值是特征值是即即的特征值是的特征值是20方法方法2：已知已知 有有 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化，可以对角化，即即存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ,使得使得214.判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解：解：方法方法1的的特征值为特征值为令令3阶阶矩阵矩阵 有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。例例6：已知：已知3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为1，2，3，设设问问矩阵矩阵 能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？22即即存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ,使得使得方法方法2：因为矩阵因为矩阵 有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵所以矩阵 能与对角阵相似。能与对角阵相似。23例例7：设：设 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值，个互异的特征值，阶方阵阶方阵 与与 有相同的特征值。有相同的特征值。证明：证明：与与 相似。相似。证：设证：设 的的n个互异的特征值为个互异的特征值为则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 ,使得使得24又又也是矩阵也是矩阵 的特征值，的特征值，所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 ,使得使得即即即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得即即 与与 相似。相似。25