材料力学,附录 截面几何性质(精品).ppt

Appendix Properties of Plane Areas(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)附录附录 截面的几何性质截面的几何性质 (Appendix Properties of plane areas)1-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first moments of the area&centroid of an area)1-4 转轴公式转轴公式(Rotation of axes)1-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积(Polar moment of inertia Moment of inertia Product of inertia)1-3平行移轴公式平行移轴公式(Parallel-Axis theorem)(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)1-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first moment of the area&centroid of an area)一、静矩一、静矩一、静矩一、静矩(The first moment of the area(The first moment of the area）OyzdAyz截面对截面对截面对截面对 y y,z z 轴的静矩为轴的静矩为轴的静矩为轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzO dA yz二、截面的形心二、截面的形心二、截面的形心二、截面的形心(CentroidCentroid of an area)of an area)C（2 2）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零.（1 1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心(The first moments&(The first moments&centroidcentroid of a composite area)of a composite area)由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面.截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)其中其中其中其中 A Ai i 第第第第 i i个简单截面面积个简单截面面积个简单截面面积个简单截面面积1.1.1.1.组合截面静矩组合截面静矩组合截面静矩组合截面静矩(The first moments of a composite area)(The first moments of a composite area)2.2.2.2.组合截面形心组合截面形心组合截面形心组合截面形心(CentroidCentroid of a composite area)of a composite area)第第第第 i i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之.方法方法方法方法1 1 用正面积法求解用正面积法求解用正面积法求解用正面积法求解.将截面分为将截面分为将截面分为将截面分为1 1，2 2 两个矩形两个矩形两个矩形两个矩形.例题例题例题例题1 1 试确定图示截面形心试确定图示截面形心试确定图示截面形心试确定图示截面形心C C的位置的位置的位置的位置.取取取取 z z 轴和轴和轴和轴和 y y 轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘重合重合重合重合101012012Ozy90图图图图(a)(a)(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)矩形矩形矩形矩形 1 1矩形矩形矩形矩形 2 2所以所以所以所以101012012Ozy90(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)方法方法方法方法2 2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)(b)图图图图(b)(b)C C1 1（0,00,0）C C2 2（5,55,5）C2负面积负面积负面积负面积C1yz(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、Product of inertia)yzOdAyz 二、极惯性矩二、极惯性矩二、极惯性矩二、极惯性矩 (Polar moment of(Polar moment of inertiainertia）一、惯性矩一、惯性矩一、惯性矩一、惯性矩(Moment of inertia)(Moment of inertia)所以所以所以所以(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzOdAyz 三、惯性积三、惯性积三、惯性积三、惯性积 (Product of inertia)(Product of inertia)（1 1）惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性积则可惯性积则可惯性积则可 能为正值能为正值能为正值能为正值，负值负值负值负值，也可能等于零也可能等于零也可能等于零也可能等于零；（2 2）若）若）若）若y y，z z 两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的 对称轴对称轴对称轴对称轴，则截面对则截面对则截面对则截面对y y，z z轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积 一定等于零一定等于零一定等于零一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径四、惯性半径四、惯性半径四、惯性半径(Radius of gyration of the area)(Radius of gyration of the area)(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)解：解：解：解：bhyzCzdz例题例题例题例题2 2 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴y y,z z轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)zyd解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O O 的极惯性矩为的极惯性矩为的极惯性矩为的极惯性矩为 例题例题例题例题3 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以所以所以所以(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of(Parallel-Axis theorem for moment of inertia)inertia)(a,ba,b)形心形心形心形心C C在在在在 yOzyOz坐标系下的坐标坐标系下的坐标坐标系下的坐标坐标系下的坐标 1-3 平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-axis theorem)y,zy,z 任意一对坐标轴任意一对坐标轴任意一对坐标轴任意一对坐标轴C C 截面形心截面形心截面形心截面形心(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzOC(a,b)bazCyCy yC C ,z zC C 过截面的形心过截面的形心过截面的形心过截面的形心 C C 且与且与且与且与 y y,z z轴平行轴平行轴平行轴平行 的坐标轴的坐标轴的坐标轴的坐标轴(形心轴）形心轴）形心轴）形心轴）I Iy y ,I Iz z ,I Iyzyz 截面对截面对截面对截面对 y y,z z 轴的惯性矩和惯性轴的惯性矩和惯性轴的惯性矩和惯性轴的惯性矩和惯性积积积积.已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴 y yC C ,z zC C 的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的 y,zy,z轴惯性矩和轴惯性矩和轴惯性矩和轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式 I Iy yC C ,I Iz zC C ,I Iy yC Cz zC C 截面对形心轴截面对形心轴截面对形心轴截面对形心轴 y yC C ,z zC C的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩 和惯性积和惯性积和惯性积和惯性积.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 、惯性积、惯性积、惯性积、惯性积(Moment of inertia&(Moment of inertia&product of inertia for composite areasproduct of inertia for composite areas ）组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积第第第第 i i个简单截面对个简单截面对个简单截面对个简单截面对 y y,z z 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩，惯性积惯性积惯性积惯性积.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)例题例题例题例题4 4 求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴 y yC C 的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面解：将截面分成两个矩形截面解：将截面分成两个矩形截面解：将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 z zC C 上上上上.取过矩形取过矩形取过矩形取过矩形 2 2 的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作 y y轴轴轴轴.21zCyC所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为y(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)2014010020y21zcyC(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)一一一一 、转轴公式、转轴公式、转轴公式、转轴公式 (Rotation of axes)(Rotation of axes)1-4 转轴公式转轴公式 (Rotation of axes)yOzyOz为过截面上的任为过截面上的任为过截面上的任为过截面上的任 一点建立的坐标系一点建立的坐标系一点建立的坐标系一点建立的坐标系 Oyzy1z1 y y1 1OzOz1 1为为为为yOzyOz 转过转过转过转过 角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系顺時针转取为顺時针转取为顺時针转取为顺時针转取为 号号号号逆時针转取为逆時针转取为逆時针转取为逆時针转取为 +号号号号 已知截面对坐标轴轴已知截面对坐标轴轴已知截面对坐标轴轴已知截面对坐标轴轴 y y,z z 轴的惯性矩和惯性积求截面对轴的惯性矩和惯性积求截面对轴的惯性矩和惯性积求截面对轴的惯性矩和惯性积求截面对 y y1 1，z z1 1 轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)转轴公式为转轴公式为转轴公式为转轴公式为Oyzy1z1 显然显然显然显然(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)二、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principal axes&(principal axes&principal moment of inertia)principal moment of inertia)主惯性轴主惯性轴主惯性轴主惯性轴(Principal axes)(Principal axes)：总可以找到一个特定的角：总可以找到一个特定的角：总可以找到一个特定的角：总可以找到一个特定的角 0 0 ,使截使截使截使截面面面面 对新坐标轴对新坐标轴对新坐标轴对新坐标轴y y0 0,z z0 0的惯性积等于的惯性积等于的惯性积等于的惯性积等于0,0,则称则称则称则称 y y0 0,z z0 0 为主惯性轴为主惯性轴为主惯性轴为主惯性轴.主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩(Principal moment of inertia)(Principal moment of inertia)：截面对主惯性轴：截面对主惯性轴：截面对主惯性轴：截面对主惯性轴y y0 0,z z0 0的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩.形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴(CentroidalCentroidal principal axes)principal axes)：当一对主惯性轴的交：当一对主惯性轴的交：当一对主惯性轴的交：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时点与截面的形心重合时点与截面的形心重合时点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴则称为形心主惯性轴则称为形心主惯性轴则称为形心主惯性轴.形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩(CentroidalCentroidal principal moment of inertia)principal moment of inertia)：截面对：截面对：截面对：截面对形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴的惯性矩.(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)求出后，就确定了主惯性轴的位置求出后，就确定了主惯性轴的位置求出后，就确定了主惯性轴的位置求出后，就确定了主惯性轴的位置.（1 1）主惯性轴的位置）主惯性轴的位置）主惯性轴的位置）主惯性轴的位置 设设设设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有则有则有则有由此由此由此由此（2 2）主惯性矩的计算公式）主惯性矩的计算公式）主惯性矩的计算公式）主惯性矩的计算公式（3 3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴）截面的对称轴一定是形心主惯性轴）截面的对称轴一定是形心主惯性轴）截面的对称轴一定是形心主惯性轴.过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴主惯性轴主惯性轴主惯性轴.截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即即即即(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)求形心主惯性矩的方法求形心主惯性矩的方法求形心主惯性矩的方法求形心主惯性矩的方法（1 1）确定形心的位置确定形心的位置确定形心的位置确定形心的位置（2 2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y y,z z,计算计算计算计算 I Iy y ,I Iz z ,I Iyzyz（3 3）确定形心主惯性轴的方位确定形心主惯性轴的方位确定形心主惯性轴的方位确定形心主惯性轴的方位（4 4）计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)例题例题例题例题5 5 计算所示图形的形心计算所示图形的形心计算所示图形的形心计算所示图形的形心主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩.解：该图形形心解：该图形形心解：该图形形心解：该图形形心C C的位置已的位置已的位置已的位置已确定，如图所示确定，如图所示确定，如图所示确定，如图所示.过形心过形心过形心过形心C C选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴 y y z z 轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩(积积积积).).101012025C4020yz 20158035(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)在第三象限在第三象限在第三象限在第三象限分别由分别由分别由分别由 y y轴和轴和轴和轴和z z轴绕轴绕轴绕轴绕C C点逆时针转点逆时针转点逆时针转点逆时针转 113.8113.8 得出得出得出得出.形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴 y y0 0 ,z z0 0(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)101012070形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主惯形矩为C4020yzy0 0=113.8z0(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)例题例题例题例题6 6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴.(b b=1.5=1.5d d)解：解：解：解：（1 1）建立坐标系如图）建立坐标系如图）建立坐标系如图）建立坐标系如图.（2 2）求形心位置）求形心位置）求形心位置）求形心位置.db2dyzO（3 3）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求yCzCC(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)db2dyzOyCzCC便是形心主轴便是形心主轴便是形心主轴便是形心主轴便是形心主惯性轴便是形心主惯性轴便是形心主惯性轴便是形心主惯性轴所以所以所以所以