2019高中数学 第二章2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案4.doc

12.4.12.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.平面向量的数量积(重点)2.平面向量数量积的几何意义(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)自 主 预 习·探 新 知1平面向量数量积的定义非零向量a a，b b的夹角为，数量|a a|b b|cos 叫做向量a a与b b的数量积，记作a·ba·b，即a·ba·b|a a|b b|cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于 0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：b b在a a的方向上的投影为|b b|cos ；a a在b b的方向上的投影为|a a|cos .(2)数量积的几何意义：数量积a·ba·b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos 的乘积思考：投影一定是正数吗？提示 投影可正、可负也可以为零3向量数量积的性质垂直向量a·ba·b0同向a·ba·b|a a|b b| 平行向量 反向a·ba·b|a a|b b|向量的模a·aa·a|a a|2或|a a|a a··a a求夹角cos a a··b b | |a a| | |b b| |不等关系a·ba·b|a a|b b|4向量数量积的运算律(1)a·ba·bb·ab·a(交换律)(2)(a a)·b b(a·ba·b)a a·(b b)(结合律)(3)(a ab b)·c ca·ca·cb·cb·c(分配律)基础自测1思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同( )(2)设非零向量a a与b b的夹角为，则 cos >0a·ba·b>0.( )2(3)|a·ba·b|a·ba·b.( )(4)(a·ba·b)2a a2·b b2.( )解析 (1)×.因向量的夹角包括 180°，直线的倾斜角不包括 180°.(2).由数量积的定义可知(3)×.|a a·b b|a·ba·b，(4)×.(a·ba·b)2(|a a|·|b b|cos )2a a2·b b2cos2.答案 (1)× (2) (3)× (4)×2已知向量a a，b b满足|a a|2，|b b|，且a a与b b的夹角为 60°，那么a·ba·b等于3_a·ba·b|a a|b b|cos 60°2×× .331 233已知|b b|3，a a在b b方向上的投影是 ，则a·ba·b为_2 32 设a a与b b的夹角为，则a a在b b方向上的投影|a a|cos ，2 3所以a a·b b|b b|a a|cos 3× 2.2 3合 作 探 究·攻 重 难向量数量积的计算及其几何意义(1)已知单位向量e e1，e e2的夹角为，a a2e e1e e2，则a a在e e1上的投影是 3_(2)给出下列结论：若a a0，a·ba·b0，则b b0；若a·ba·bb·cb·c，则a ac c；(a·ba·b)c ca a(b·cb·c)；a a·b b(a·ca·c)c c(a·ba·b)0，其中正确结论的序号是_(3)已知向量a a与b b满足|a a|10，|b b|3，且向量a a与b b的夹角为 120°.求：(a ab b)·(a ab b)；(2a ab b)·(a ab b). 思路探究 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1) (2) (1)设a a与e e1的夹角为，则a a在e e1上的投影为|a a|cos 3 2a a·e e1(2e e1e e2)·e e1a a·e e1 |e e1|2e ee e1·e e22 121×1×cos . 33 2(2)因为两个非零向量a a，b b垂直时，a a·b b0，故不正确；3当a a0，b bc c时，a·ba·bb·cb·c0，但不能得出a ac c，故不正确；向量(a·ba·b)c c与c c共线，a a(b·cb·c)与a a共线，故不正确；a a·b b(a·ca·c)c c(a·ba·b)(a·ba·b)(a·ca·c)(a·ca·c)(a·ba·b)0，故正确(3)(a ab b)·(a ab b)a a2b b2|a a|2|b b|2100991.因为|a a|10，|b b|3，且向量a a与b b的夹角为 120°，所以a·ba·b10×3×cos 120°15，所以(2a ab b)·(a ab b)2a a2a·ba·bb b2200159206.规律方法 求平面向量数量积的步骤是：1求a a与b b的夹角，0，；2分别求|a a|和|b b|；3求数量积，即a·ba·b|a a|b b|cos ，要特别注意书写时a a与b b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：1b b在a a方向上的投影为|b b|cos 为a a，b b的夹角，a a在b b方向上的投影为|a a|cos .2b b在a a方向上的投影为，a a在b b方向上的投影为.a a··b b |a a|a a··b b |a a|跟踪训练1(1)在ABC中，A60°，AB3，AC2.若2，(R R)，BDDCAEACAB且·4，则的值为_ADAE设a a，b b，由已知得|a a|3，|b b|2，a·ba·b|a a|b b|cos 60°3，3 11ABAC因为2，所以2()，BDDCADABACAD所以a ab b，AD1 3AB2 3AC1 32 3所以··(b ba a)a·ba·ba a2b b2(2)ADAE(1 3a a2 3b b)( 323)1 32 3 ×9×44，1 32 3解得.3 11(2)设非零向量a a和b b，它们的夹角为.4若|a a|5，150°，求a a在b b方向上的投影；若a·ba·b9，|a a|6，求b b在a a方向上的投影解 |a a|·cos 5×cos 150°5×，(32)5 32a a与b b方向上的投影为.5 32 ，a a··b b |a a|9 63 2b b在a a方向上的投影为 .3 2与向量模有关的问题(1)已知向量a a，b b的夹角为 60°，|a a|2，|b b|1，则|a a2b b|_.(2)已知向量a a与b b夹角为 45°，且|a a|1，|2a ab b|，求|b b|. 10思路探究 灵活应用a a2|a a|2求向量的模(1)2 (1)|a a2b b|2(a a2b b)2|a a|22·|a a|·|2b b|·cos 60°(2|b b|)23222×2×2× 2244412，1 2所以|a a2b b|2.123(2)因为|2a ab b|，10所以(2a ab b)210，所以 4a a24a·ba·bb b210，又因为向量a a与b b的夹角为 45°且|a a|1，所以 4×124×1×|b b|×|b b|210，22整理得|b b|22|b b|60，2解得|b b|或|b b|3(舍去)22规律方法 求向量的模的常见思路及方法1求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a a2|a a|2，勿忘记开方.2a·aa·aa a2|a a|2或|a a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向a a2量运算的相互转化.,3一些常见的等式应熟记，如a a±b b2a a2±2a·ba·bb b2，a ab b·a ab ba a2b b2等.跟踪训练2已知向量a a、b b满足|a a|2，|b b|3，|a ab b|4，求|a ab b|.解 由已知，|a ab b|4，|a ab b|242，a a22a·ba·bb b216.(*)5|a a|2，|b b|3，a a2|a a|24，b b2|b b|29，代入(*)式得 42a·ba·b916，即 2a·ba·b3.又|a ab b|2(a ab b)2a a22a·ba·bb b243910，|a ab b|.10与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a a与b b都是非零向量，若a ab b，则a a·b b等于多少？反之成立吗？提示：a ab ba a·b b0.2|a a·b b|与|a a|b b|的大小关系如何？为什么？对于向量a a，b b，如何求它们的夹角？提示：|a a·b b|a a|b b|，设a a与b b的夹角为，则a a·b b|a a|b b|cos .两边取绝对值得：|a a·b b|a a|b b|cos |a a|b b|.当且仅当|cos |1，即 cos ±1，0 或 时，取“” ，所以|a a·b b|a a|b b|，cos .a a·b b |a a|b b|(1)已知e e1与e e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e e1ke e2与ke e1e e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a a，b b满足a a3b b与 7a a5b b互相垂直，a a4b b与 7a a2b b互相垂直，求a a与b b的夹角.思路探究 (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于 0 且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程，推出|a a|与|b b|的关系，再求a a与b b的夹角(1)(0,1)(1，) (1)e e1ke e2与ke e1e e2的夹角为锐角，(e e1ke e2)·(ke e1e e2)ke eke e(k21)e e1·e e22 12 22k0，k0.当k1 时，e e1ke e2ke e1e e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0 且k1.6(2)由已知条件得Error!即Error!得 23b b246a·ba·b0，2a·ba·bb b2，代入得a a2b b2，|a a|b b|，cos .a a··b b |a a|b b|1 2b b2 |b b|21 20，. 3母题探究：1.将例 3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，求k的取值范围解 e e1ke e2与ke e1e e2的夹角为钝角，(e e1ke e2)·(ke e1e e2)ke eke e(k21)e e1·e e22k0，2 12 2k0.当k1 时e e1ke e2与ke e1e e2方向相反，它们的夹角为 ，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0 且k1.2将例 3(1)中的条件“锐角”改为“” ，求k的值 3解 由已知得|e e1ke e2|，e e2 12ke e1·e e2k2e e2 21k2|ke e1e e2|，k2e e2 12ke e1·e e2e e2 2k21(e e1ke e2)·(ke e1e e2)ke eke e(k21)e e1·e e22k，2 12 2则 cos， 3e e1ke e2ke e1e e2 |e e1ke e2|ke e1e e2|2k 1k2即 整理得k24k102k 1k21 2解得k2±.4 ±1223规律方法 1.求向量夹角的方法：(1)求出a·ba·b，|a a|，|b b|，代入公式 cos 求解a a··b b |a a|b b|(2)用同一个量表示a·ba·b，|a a|，|b b|代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当 cos 0 时，；当 cos 0， 2)0 时，当 cos 0 时，.( 2， 27当 堂 达 标·固 双 基1(2018·全国卷)已知向量a a，b b满足|a a|1，a·ba·b1，则a a·(2a ab b)( )A4 B3 C2 D0B B 因为|a a|1，a a··b b1，所以a a·(2a ab b)2|a a|2a·ba·b2×12(1)3，故选 B.2设e e1 1和e e2 2是互相垂直的单位向量，且a a3e3e1 12e2e2 2，b b3e3e1 14e4e2 2，则a·ba·b等于( )A2 B1C1D2B B 因为|e|e1 1| |e|e2 2| |1 1，e e1 1·e·e2 20 0，所以a·ba·b(3e3e1 12e2e2 2)··(3e3e1 14e4e2 2)9|e9|e1 1| |2 28|e8|e2 2| |2 26e6e1 1·e·e2 29×128×126×01.故选 B.3已知|a a|3，|b b|5，且a·ba·b12，则向量a a在向量b b的方向上的投影为_. 设a a与b b的夹角为，12 5因为a·ba·b|a a|b b|cos 12，又|b b|5，所以|a a|cos ，12 5即a a在b b方向上的投影为.12 54若a·ba·b0，则a a与b b的夹角的取值范围是_因为a·ba·b|a a|b b|cos 0，( 2，所以 cos 0，又0，所以.( 2，5已知|a a|b b|5，向量a a与b b的夹角为，求|a ab b|，|a ab b|. 3解 a·ba·b|a a|b b|cos 5×5× .1 225 2|a ab b|a ab b2|a a|22a a··b b|b b|25.252 ×25 2253|a ab b|a ab b2|a a|22a a··b b|b b|285.252 ×25225