习题课1-质点运动学.ppt

经典力学经典力学（上）习题课（上）习题课第第1次次 质点运动学质点运动学题题1.1 路灯离地面高度路灯离地面高度为为H，一个身高，一个身高h的人，在灯下的人，在灯下水平路面上以匀速步行，步行速度水平路面上以匀速步行，步行速度值为值为v0解：建坐标如图。任意解：建坐标如图。任意时刻影子长为时刻影子长为l，影子移，影子移动的速度为动的速度为求：当人与灯距离求：当人与灯距离为为 x x人人时时,头顶头顶在地面的影子移在地面的影子移动动的速的速度度v。由图可得由图可得则则题题1.2 如如图图所示，所示，椭圆规椭圆规的的AB杆上杆上A、B两点两点分分别别沿沿oy槽、槽、ox槽移槽移动动，且，且A点以匀速点以匀速v0运运动动。试试求杆上求杆上C点的运点的运动轨动轨迹，速度和加速度。迹，速度和加速度。l1l2ABCOyx1.2题图题图【解解】n求轨迹求轨迹 设设t时刻时刻AB杆与杆与x轴的夹角为轴的夹角为，则，则C点坐标为点坐标为在以上两式中消去在以上两式中消去得得C点轨迹为椭圆点轨迹为椭圆(1)(2)n求速度和加速度求速度和加速度C点得速度分量为点得速度分量为(3)(4)按题意按题意 vAv0，由，由(4)式得式得代入代入(3)式得式得C点的速率点的速率(5)(6)(7)将将(3)式对时间求导，得式对时间求导，得C点的加速度点的加速度由于杆的由于杆的A端作匀速直线运动，端作匀速直线运动，aA0 或或 aAy0，而，而(8)(9)由此得由此得(10)(11)(12)对（对（6）式可直接求导得到以上结果）式可直接求导得到以上结果题题1.3 以速度以速度V和地平面成和地平面成角发射一火箭，在角发射一火箭，在驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭作驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭作恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻力恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻力所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运动所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运动轨迹。轨迹。xogav0v0ydydxds题题1.3图图【解解】设驱动力与阻力所产生的加速度为设驱动力与阻力所产生的加速度为a，火箭的，火箭的加速度为加速度为其切向分量和法向分量分别为其切向分量和法向分量分别为因为火箭的速率恒定，故有因为火箭的速率恒定，故有（1）即有即有（2）式中式中是火箭所在处的曲率半径。是火箭所在处的曲率半径。代入（代入（2）式得）式得（3）将（将（3）式积分，考虑初始条件，当）式积分，考虑初始条件，当t0时，时，x0，0。可得。可得又因为又因为（4）对上式两边积分，并考虑当对上式两边积分，并考虑当 x 0时时 y0，可得，可得题题1.4 一气球以一气球以v0速率自地面开始上升，由于速率自地面开始上升，由于风的影响，气球的水平速度以风的影响，气球的水平速度以vx=by的规律变的规律变化，其中化，其中b为常量，为常量，y是气球离地面的高度（是气球离地面的高度（x轴取地平面向右的方向）轴取地平面向右的方向）。试求。试求（1）气球的运动轨迹方程）气球的运动轨迹方程（2）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半径与径与y的关系的关系xyo气球气球题题1.4图图【解解】（1）取直角坐标系）取直角坐标系oxy。设。设t0时，气球位时，气球位于地面坐标原点处。于地面坐标原点处。已知已知 vy=v0,vx=by 即有即有 y=v0t (1)则则由由积分可得积分可得(2)气球的运动方程气球的运动方程(3)消去消去t可得轨迹方程可得轨迹方程(4)（2）气球的速率）气球的速率加速度加速度(5)(6)切向加速度切向加速度(7)法向加速度法向加速度得到得到(8)(9)题题1.5 一一细细杆杆绕绕o端点在平面内以匀角速旋端点在平面内以匀角速旋转转，角速度角速度为为。在杆上套有一小。在杆上套有一小环环（可看作（可看作质质点）点）相相对对于杆作匀速运于杆作匀速运动动，速率，速率为为u。时间时间t0时时小小环环位于端点位于端点o处处。求小。求小环环的运的运动轨动轨迹及在任意迹及在任意时时刻小刻小环环的速度和加速度。的速度和加速度。【解解】取平面极坐标系。设取平面极坐标系。设t0时，杆与极轴重合。时，杆与极轴重合。任意任意t时刻时刻消去消去t小环的轨迹是阿基米德螺旋线小环的轨迹是阿基米德螺旋线径向速度径向速度横向速度横向速度速率速率小环的加速度小环的加速度径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度加速度加速度题题1.5图图题题1.6 一一条条笔笔直直的的河河流流，宽宽为为d，河河水水以以恒恒定定速速度度u流流动动。小小船船从从河河岸岸A点点出出发发，为为了了到到达达对对岸岸的的O点点，它它相相对对于于河河水水以以匀匀速速率率v（vu）运运动动，无无论论在在何何处处，小小船船的的运运动动方方向向始始终终指指向向O点点。已已知知AO=r0，AOP=0。求求小小船船的的运运动动轨轨迹迹。若若O点点刚刚好好在在A点点的的正正对对面面（即即AO=d）结果又如何？）结果又如何？题题1.6图图【解解】取平面极坐标系。极点与取平面极坐标系。极点与O重合，极轴与河岸重合，极轴与河岸OP重合。小船的位置由重合。小船的位置由r、确定。确定。径向速度与横向速度分别为径向速度与横向速度分别为两式相除得两式相除得分离变量分离变量积分积分小船的运动轨迹方程小船的运动轨迹方程若若O点在点在A点正对面，则点正对面，则r0d，0/2。则有。则有题题1.7 质点在有心力的作用之下运动，此力的量质点在有心力的作用之下运动，此力的量值为质点到力心距离值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率与的函数，而质点的速率与此距离成反比，即此距离成反比，即 v=a/r。如果如果 ，求质点的轨迹方程。，求质点的轨迹方程。假设当假设当 r=r0时，时，=0=0。解题思路：解题思路：要求质点的轨迹方程，即求要求质点的轨迹方程，即求 r 关于关于的函数，的函数，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，求得关于求得关于 的一阶微分方程。的一阶微分方程。而而即即两边积分得两边积分得 第第1次习题次习题n教材第一章练习（教材第一章练习（P46）1-6、1-8、1-10、1-12、1-13、1-14、1-15、1-16