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三、傅里叶变换31傅里叶变换的基本概念310傅里叶级数的引入18世纪，在研究弦的振动及相似的物理现象时，出 现 了 三 角 展 开（trigonometric expansion）问题。1808年，傅里叶在研究热传导时，写了一本开创性著作ThorieAnalytiquedelaChaleur,在书中，傅里叶对三角级数做了仔细的研究并用于解决一些列的热传导问题，但该书直到1822年才出版。1/30/20231311傅里叶变换的物理意义在工程上任何信号或波形f（t）都是由一系列不同频率和不同振幅的正弦波所组成，或者说f（t）包含了一系列的不同频率和不同振幅的正弦波。把信号f（t）分解成一系列的不同频率和不同振幅的正弦波。这样一个数学过程就称为傅里叶展开或傅里叶变换，因此傅里叶变换的物理意义就是对信号进行谱分解、谱分析。信号的傅里叶展开就是信号的谱分解。1/30/20232312什么类型的周期信号可以展开成傅里叶级数狄里赫利（Dirichlet）条件1.在一周期内，周期信号是绝对可积的；2.在一周期内，周期信号的极值数目是有限个；3.在一周期内，周期信号只有有限个间断点；凡符合Dirichlet条件的信号或函数都可用傅氏级数展开形式1/30/202333.1.3 周期信号的傅氏级数表示1/30/202343.1.3 周期信号的傅氏级数表示1/30/202353.1.3 周期信号的傅氏级数表示3.指数形式傅式级数利用Euler公式有1/30/202363.1.3 周期信号的傅氏级数表示1/30/202373.1.3 周期信号的傅氏级数表示三角傅氏级数与指数傅氏级数系数之间关系：1/30/202383.1.3 周期信号的傅氏级数表示1/30/202393.1.3 周期信号的傅氏级数表示5.傅氏级数系数与函数对称性的关系1/30/2023103.1.3 周期信号的傅氏级数表示b.f（t）为偶或奇谐函数1/30/2023113.1.4 周期信号的频谱1.周期信号频谱特点以例子说明其特性（周期方波信号的频谱）1/30/2023123.1.4 周期信号的频谱1.周期信号频谱特点1/30/2023133.1.4 周期信号的频谱2.频带宽度B从零频开始到需要考虑的最高频率分量间的范围，称为信号的有效宽度或称为频谱宽度，对于一般的频谱，常常把从零频开始到频谱幅度下降为包络最大值的1/10的频率之间的频带取作频谱宽度，上面的例子中，B=71/30/2023143.1.4 周期信号的频谱3.收敛速度时间函数中变化较慢的信号，它的傅氏级数必定收敛较快，这是因为它含有的其它频率成分信号少，或合成的信号成分少。如f（t）=Asin2t,收敛较快，只有1项，变化激烈的信号，跳跃信号，收敛慢，包含的信号频率成分多1/30/2023153.1.4 周期信号的频谱4.间断点设在处有间断点，则1/30/2023163.1.4 周期信号的频谱5.从傅里叶级数到傅里叶变换1/30/2023175.从傅里叶级数到傅里叶变换1/30/2023185.从傅里叶级数到傅里叶变换1/30/2023193.2离散傅里叶级数3.2.1 离散傅里叶级数（DiscreteFourierSeziesDFS）周期离散时间序列的傅里叶变换称为离散傅里叶级数。考察一个序列：是一个以N为周期的周期序列，这样的周期序列不能用Z变换表示，因为在任何Z值下它的Z变换都不收敛，然而却可以用傅里叶级数表示1.旋转因子的周期性和正交性旋 转 因 子(twiddle factor)具 有 周 期 性(periodicity)和正交性(orthogonality)。1/30/2023201.旋转因子的周期性和正交性1/30/2023212.DFS 的数学表达式DFS是周期序列的傅里叶表示。1/30/202322利用正交性1/30/202323FS是连续周期信号的傅里叶变换；DFS是周期序列的傅里叶变换。1/30/2023243.DFS性质1/30/2023253.DFS性质2序列的移位：shift of a sequence1/30/2023263.DFS性质3对称性symmetry properties1/30/2023273.DFS性质3对称性symmetry properties1/30/2023283.DFS性质3对称性symmetry properties1/30/2023293.DFS性质4周期卷积（循环卷积）PeriodicConvolution结论：时域卷积频域相乘1/30/2023303.DFS性质5相乘定理结论：时域相乘 频域卷积1/30/2023313.DFS性质6相关定理证毕 1/30/2023323.DFS性质7泊斯瓦尔定理（Parsevals Theorem）1/30/2023333.DFS性质8能量定理1/30/2023343.3离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransformDFT）3.3.1 DFT数学表达式 离散傅立叶级数(DFS)是周期序列的傅立叶表示，而离散傅立叶变换（DFT）是有限长序列的傅立叶表示。如果把周期序列看作是由一个有限长序列做周期延拓而得到的，或者说有限长序列是周期序列的一个主值序列，那么可以从周期序列的DFS得到长为一个周期的序列的离散傅立叶变换。1/30/2023353.3.1 DFT数学表达式1/30/2023363.3.1 DFT数学表达式1/30/202337小结：1/30/202338小结：1/30/202339小结：从时域变换到频域（正变换），即把组成信号的各个频率成分分解出来。连续的信号经过采样变成离散信号。不管是非周期的还是周期的（实际当作主值序列来处理），总是当作一段N来处理。因此，DFT是最重要的，计算DFS等同于计算DFT。1/30/2023403.3.2 DFT与Z变换1/30/2023413.3.2 DFT与Z变换而上式表明,长度为N的序列的Z变换，可用它在单位圆上的N个等间隔取样值 来确定，而 就是该序列的DFT，上式亦称为变换域的内插公式。1/30/2023423.3.3 DFT矩阵表达式1/30/2023433.3.3 DFT矩阵表达式1/30/2023443.3.3 DFT矩阵表达式1/30/2023451.DFT逆变换与正变换的关系1/30/2023461.DFT逆变换与正变换的关系1/30/2023472.DFT的计算举例1/30/2023482.DFT的计算举例1/30/2023493.3.4 二维离散傅立叶变换 1.二维DFT表达式1/30/2023501.二维DFT表达式由旋转因子的正交性1/30/2023512.二维DFT计算用一维DFT计算二维DFT(A)1/30/2023522.二维DFT计算上面处理是先行变换（对m），再列变换（对n）1/30/2023532.二维DFT计算1/30/2023543.n维DFT计算表达式1/30/202355傅立叶变换部分作业1/30/202356
