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4 4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系第第1 1课时课时 1.1.了解圆周角的概念了解圆周角的概念.2.2.理解圆周角定理的证明理解圆周角定理的证明.3.3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想分类的数学思想.3.3.下列命题是真命题的是下列命题是真命题的是()()垂直弦的直径平分这条弦垂直弦的直径平分这条弦相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等圆既是轴对称图形圆既是轴对称图形,又是中心对称图形又是中心对称图形A.B.A.B.C.D.C.D.1.1.圆心角的定义圆心角的定义?答：答：相等相等.答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.2.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?B B圆心角顶点发生变化时圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况我们得到几种情况?A.OBC.思考：思考：三个图中的三个图中的BACBAC的顶点的顶点A A各在圆的什么位置？各在圆的什么位置？角角的两边和圆是什么关系？的两边和圆是什么关系？.AOBCA.OBC.你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?.OBCA特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且两并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角圆周角.角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.探究探究1.1.判断下列各图形中的角是不是圆周角判断下列各图形中的角是不是圆周角.图图图图图图图图图图2 2、指出图、指出图中的圆周角中的圆周角.A AO OB BC CACO ACB BCO ACO ACB BCO OAB BAC OAC OAB BAC OAC ABO CBO ABCABO CBO ABC【巩固练习巩固练习】说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.提示提示:注意圆心角与圆周角的位置关系注意圆心角与圆周角的位置关系.A AB BC CO OA AB BC CO OO OA AB BC C如图如图,观察弧观察弧ACAC所对的圆周角所对的圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOC,AOC,它们的它们的大小有什么关系大小有什么关系?圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系议一议议一议解解:AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，O OA AB BC CA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即ABC=AOC.ABC=AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.1.首先考虑一种特殊情况：当圆心首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的的一边一边(BC)(BC)上时上时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系.提示提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的圆心角的一半.O OA AB BC CD D如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?2.2.当圆心当圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时,圆周角圆周角ABCABC与圆与圆心角心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?ABD=AOD,ABD=AOD,CBD=COD,CBD=COD,ABC=AOC.ABC=AOC.提示提示:能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半.D DA AB BC C3.3.当圆心当圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时,圆周角圆周角ABCABC与圆与圆心角心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?ABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,ABC=AOC.ABC=AOC.O O圆周角定理圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.提示提示:圆周角定理是承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.O OA AB BC CO OA AB BC CO OA AB BC C 即即ABC=AOC.ABC=AOC.D DD D圆心在角的边圆心在角的边圆心在角圆心在角圆心在角圆心在角上上内内外外定理：定理：AOB=2BOCAOB=2BOCA AO OB BC CACB=2BACACB=2BAC证明：证明：ACB=AOB ACB=AOB BAC=BOC BAC=BOC例例.如图：如图：OAOA，OBOB，OCOC都是都是O O的半径，的半径，AOB=2BOC.AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.ACB=2BAC.【例题例题】B BA AO O7070 x x1.1.求圆中角求圆中角x x的度数的度数A AO Ox x120120 C C C C D D B B2.2.如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆为圆心，心，C C，D D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则则CAD=_.CAD=_.2525【跟踪训练跟踪训练】答案：答案：3535 120 1203.3.判断判断（1 1）顶点在圆上的角叫圆周角）顶点在圆上的角叫圆周角.（）（2 2）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半.（）（2 2）如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB=100AOB=100，则圆周角则圆周角ACB=_ACB=_，ADB=_.ADB=_.D DA A O OC CB B4.4.计算计算（1 1）半径为）半径为R R的圆中，有一弦分圆周成的圆中，有一弦分圆周成1 1：4 4两两部分，则弦所对的圆周角的度数是部分，则弦所对的圆周角的度数是_._.130130 5050 3636 或或144144O OA AO OC CB B1 1（重（重庆庆中考）如中考）如图图，ABCABC是是O O的内接三角形，若的内接三角形，若ABC=70ABC=70则则AOCAOC的度数等于（的度数等于（）A.140 B.130A.140 B.130C.120 D.110C.120 D.110答案答案:A A 2.2.（潼南（潼南中考）如中考）如图图，已知，已知ABAB为为O O的直径，点的直径，点C C在在O O上上,C=15,C=15,则则BOCBOC的度数的度数为为（）A A15 B.3015 B.30 C.45C.45 D D60 60 答案答案:B B 3.3.（德化（德化中考）如中考）如图图，点，点B B，C C在在O O上，且上，且BO=BCBO=BC，则圆周，则圆周角角BACBAC等于（等于（）答案答案:D D A.60A.60B.50B.50C.40C.40D.30D.304.4.（红河（红河中考）中考）如如图图，已知，已知BDBD是是O O的直径，的直径，O O的弦的弦ACBDACBD于点于点E E，若，若AOD=60AOD=60，则则DBCDBC的度数的度数为为（）A.30 B.40 C.50 D.60A.30 B.40 C.50 D.60答案答案:A A【规律方法规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆然后再灵活运用圆周角定理周角定理.一一 、这节课主要学习了两个知识点：、这节课主要学习了两个知识点：1 1、圆周角定义、圆周角定义.2 2、圆周角定理及其定理应用、圆周角定理及其定理应用.二、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了二、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了“特殊特殊到一般到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法的思想方法和分类讨论的思想方法.三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用个重要考点，望同学们灵活运用.忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。卢梭卢梭