矩阵概念.ppt
第二章第二章 矩矩 阵阵一一.矩阵概念矩阵概念二二.矩阵的基本运算矩阵的基本运算三三.逆矩阵逆矩阵四四.矩阵的分块矩阵的分块五五.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵1一一.矩阵概念矩阵概念1.矩阵的定义矩阵的定义2.特殊矩阵特殊矩阵3.矩阵的应用实例矩阵的应用实例1.矩阵的定义矩阵的定义简记为简记为2实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数例如：例如：是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,3是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.是一个是一个 矩阵矩阵,42.2.一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵零矩阵零矩阵(Zero Matrix):(Zero Matrix):注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：例如：元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作零矩阵记作 或或 .5行矩阵行矩阵(Row Matrix):列矩阵列矩阵(Column Matrix):方阵方阵(Square Matrix):只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵称为行矩阵(或或行向量行向量).).只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵(或或列向量列向量).).例如：例如：是一个是一个 3 3 阶方阵阶方阵.行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵，的矩阵，称为称为 阶阶方阵方阵.也可记作也可记作6对角阵对角阵(Diagonal Matrix):方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。数量矩阵数量矩阵(Scalar Matrix):方阵，主对角元素全为非零常数方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。其余元素全为零。7单位矩阵单位矩阵(Identity Matrix):(Identity Matrix):记作记作:行列式与矩阵的区别行列式与矩阵的区别:1.1.一个是算式一个是算式 ，一个是数表，一个是数表2.2.一个行列数相同一个行列数相同 ,一个行列数可不同一个行列数可不同.3.3.对对 n n 阶方阵可求它的行列式阶方阵可求它的行列式.记为记为:方阵，主对角元素全为方阵，主对角元素全为1 1，其余元素都为零。，其余元素都为零。83.3.矩阵的应用实例矩阵的应用实例省两个城市省两个城市和和例例1 1：(通路矩阵通路矩阵)省三个城市省三个城市的交通联结情况如图。的交通联结情况如图。每条线上的数字表示联结该两城每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路总数市的不同通路总数.由该图提供的通路信息由该图提供的通路信息,可用矩阵形可用矩阵形式表示式表示,称之为通路矩阵称之为通路矩阵.9例例2 2：(价格矩阵价格矩阵)四种食品四种食品(Food)(Food)在三家商店在三家商店(Shop)(Shop)中中,单位单位量的售价量的售价(以某种货币单位计以某种货币单位计)可用以下矩阵给出可用以下矩阵给出10例例3：(赢得矩阵赢得矩阵)我国古代有我国古代有“齐王赛马齐王赛马”的事例的事例,说的战国时代说的战国时代齐王与其大将田忌赛马齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马这样共赛马3次次,每每次比赛的败者付给胜者一百金次比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券胜券,但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马下等级的马.11齐王的赢得矩阵：齐王的赢得矩阵：齐齐 王王 策策 略略田田 忌忌 策策 略略比赛策略比赛策略:(上、中、下上、中、下)(中、上、下中、上、下)(下、中、上下、中、上)(上、下、上、下、中中)(中、下、上中、下、上)(下、上、中下、上、中)12例例4：(系数矩阵系数矩阵)个变量个变量与与个变量个变量之间的之间的 关系式关系式表示从变量表示从变量到变量到变量的的线性变换线性变换.其中其中为常数为常数.13系数矩阵系数矩阵14线性变换线性变换与与矩阵矩阵之间存在着之间存在着一一对应一一对应关系关系.对应对应恒恒等等变变换换单单位位阵阵对应对应15二二.矩阵的基本运算矩阵的基本运算1.矩阵相等矩阵相等2.加减法加减法3.数乘矩阵数乘矩阵4.矩阵的乘法矩阵的乘法5.矩阵的转置矩阵的转置6.方阵的行列式方阵的行列式1.矩阵相等矩阵相等.矩阵相等矩阵相等:例：例：同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等162.矩阵的加减法矩阵的加减法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为加法加法:17注意：注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如：例如：18减法减法:负负矩阵：矩阵：矩阵加法满足的运算规律矩阵加法满足的运算规律:193.数与矩阵相乘数与矩阵相乘数乘数乘:注意：注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别矩阵数乘与行列式数乘的区别.20数乘矩阵满足的运算规律：数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）21定义：定义：并把此乘积记作并把此乘积记作4.4.矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中22例：例：例例2 2：求求AB23故故解解:24注意注意:只有当只有当第一个矩阵的列数第一个矩阵的列数等于等于第二个矩阵的行数第二个矩阵的行数时，时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.例如例如:不不存在存在.25例例3:3:计算下列矩阵的乘积计算下列矩阵的乘积.解解:26=(）27例例4 4：计算下列矩阵的乘积计算下列矩阵的乘积.282930矩阵乘法满足的运算规律：矩阵乘法满足的运算规律：（其中其中 为数）为数）;矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律例例 :设设则则注意：注意：31但也有但也有例外例外，比如设，比如设则有则有32矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律例如：例如：有有但是但是33 若若A是是n 阶方阵，阶方阵，则则 为为A的的 次幂，即次幂，即 方阵的幂：方阵的幂：并且并且方阵的多项式：方阵的多项式：345.5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义:把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例:转置矩阵满足的运算规律：转置矩阵满足的运算规律：35例例5 5：已知已知解法解法1 1：36解法解法2 2：课堂练习：课堂练习：37对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明：说明：例例6:设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为对称阵称为对称阵.对称阵对称阵:38例例8：注：注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例例7：396.6.方阵的行列式方阵的行列式定义定义：由：由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算规律：运算规律：:注：注：虽然虽然但但40定义：定义：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.41故故同理可得同理可得性质：性质：证明：证明：则则42
