高中数学导数与函数知识点归纳总结 .pdf
高中导数与函数知识点总结归纳高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念一、基本概念1.1.导数的定义：导数的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数值y也引起相应的增量y f(x0 x)f(x0)；比值率率；如果极限limyf(x0 x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0 x之间的平均变化平均变化xxf(x0 x)f(x0)y存在，那么称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做 limx0 xx0 xy f(x)在x0处的导数导数。fx在点x0处的导数记作yxx0 f(x0)limx0f(x0 x)f(x0)x2 2 导数的几何意义：导数的几何意义：求函数在某点处的切线方程求函数在某点处的切线方程函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x0)，切线方程为y y0 f(x)(x x0).3 3基本常见函数的导数基本常见函数的导数:C 0;C 为常数x nxnn1;(sin x)cosx;(cosx)sin x;(e)e;(a)a lna;ln xxxxx11;logaxlogae.xx二、导数的运算二、导数的运算1.导数的四那么运算：法那么法那么 1 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：fx gx f x gx法那么法那么 2 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：f xgx fxgxfx g x 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf(x)Cf(x).(C为常数)法那么法那么 3 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：fxf xgx fxgxgx 0。2gxgx.形如y f(x)的函数称为复合函数复合函数。法那么：f(x)f()*(x).三、导数的应用三、导数的应用1设函数y f(x)在某个区间(a,b)可导，如果如果如果如果f(x)0，那么，那么f(x)在此区间上为增函数；在此区间上为增函数；f(x)0，那么，那么f(x)在此区间上为减函数。在此区间上为减函数。f(x)0，那么f(x)为常函数为常函数。2如果在某区间内恒有恒有2 2函数的极点与极值：函数的极点与极值：当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.3 3函数的最值：函数的最值：一 般 地，在 区 间a,b上 连 续 的 函 数f(x)在a,b上 必 有 最 大 值 与 最 小 值。函 数值点处取得。f(x)在区间a,b上的最值只可能在区间端点及极求函数f(x)在区间a,b上最值的一般步骤：求函数f(x)的导数，令导数f(x)0解出方程的跟f(x),f(x)的表格，求出极值及f(a)、f(b)的值;比拟端点及极值点处的函数值的大在区间a,b列出x,小，从而得出函数的最值。4 4相关结论总结：相关结论总结：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.四、函数的概念四、函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有叫做集合A唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应包括集合A，B以及A到B的对应法那么ff:A B到B的一个函数，记作.函数的三要素:定义域、值域和对应法那么只有定义域相同，且对应法那么也相同的两个函数才是同一函数五、函数的性质五、函数的性质定义及判定方法函数的定义性 质如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x x x 时，都1 12 2 有 f(xf(x)f(x)f(x)，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是增函数增函数1利用定义2利用函数的单调图象判定方法y yy=f(X)y=f(X)f(x)f(x)1f(x)f(x)2性3 利用函数图象 在o ox x1x x2x x某个区间图象上升为增4利用复合函数1利用定义函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x xf(x)f(x)，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是减函数减函数2利用函数的单调y yf(x)f(x)1y=f(X)y=f(X)f(x)f(x)2性3 利用函数图象 在o ox x1x x2x x某个区间图象下降为减4利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数y fg(x)，令u g(x)，假设y f(u)为增，u g(x)为增，那么为减，y yy fg(x)为增；假设y f(u)u g(x)为减，那么y fg(x)为增；假设y f(u)为增，u g(x)为减，那么y fg(x)为减；假设y f(u)为减，u g(x)为增，那么y fg(x)为减2打“函数af(x)x(a 0)的图像与性质x.o ox xf(x)分别在(,a、a,)上为增函数，分别在 a,0)、(0,a上为减函数2.2.最大小值较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值最大小值较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1 对于任意的xI，都有f(x)M；2 存在x0I，使得一般地，设函数f(x0)M 那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)My f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：1 对于任意的xI，都有f(x)m；2存在x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m定义及判定方法函数的定义性 质如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函奇函 数数函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数关于原点对称1利用定义要先判断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于 y 轴对称1利用定义要先判断定义域是否关于原点对称2利用图象图象图象判定方法假设函数奇函数在f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，那么f(0)0y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函数，两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商是奇函数.
