北师版八年级数学上册第七章《平行线的证明》ppt课件.pptx

7.1 为什么要证明第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理（重点）2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确（难点）导入新课导入新课观察与思考两图中的中间圆大小一样吗？这两个色块颜色有什么不同？旋转再看看线段线段AB和和CD长度完全相等长度完全相等,虽然它们看起来相差很大虽然它们看起来相差很大!是是静静还还是是动动？平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!你觉得观察得到的结论正确吗？讲授新课讲授新课数学的结论必须经过严格的论证一 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、实验还不够；必须经过一步一步、有根有据的推理.请举例说明，你用到过的推理.ab 线段a与线段b哪个比较长？abcd 谁与线段d在一条直线上？ababcda=b做一做 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道 之间的间隙为：它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.费 马 对于所有自然数n，的值都是质数.当n=0，1，2，3，4时，=3，5，17，257，65 537都是质数欧 拉当n=5时，=4 294 967 297=6416 700 417举出反例是检验错误数学结论的有效方法.大数学家也有失误归纳总结 这个故事告诉我们：1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.检验数学结论的常用方法二【类型一】实验验证例1：先观察再验证(1)图中实线是直的还是弯曲的？(2)图中两条线段a与b哪一条更长？(3)图中的直线AB与直线CD平行吗？解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.方法归纳 有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论【类型二】推理证明例2：当n为正整数时，代数式(n25n5)2的值都 等于1吗？解：当n1时，(n25n5)2121；当n2时，(n25n5)2(1)21；当n3时，(n25n5)2(1)21；当n4时，(n25n5)2121；当n5时，(n25n5)252251.所以当n为正整数时，(n25n5)2不一定等于1.【方法总结】验证特例是判断一个结论错误的最好方法【类型三】举出反例例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(1)若BOC30，求AOB和COD的度数；(2)若BOC54，求AOB和COD的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？分析：图中AOB、COD均与BOC互余，根据角的和、差关系，可求得AOB与COD的度数通过计算发现AOBCOD，于是可以归纳AOBCOD.例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(1)若BOC30，求AOB和COD的度数；解：(1)OAOC，OBOD，AOCBOD90.BOC30，AOBAOCBOC903060，CODBODBOC903060.例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(2)若BOC54，求AOB和COD的度数；解：(2)AOBAOCBOC905436，CODBODBOC905436.例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(3)由(1)、(2)你发现了什么？解：(3)由(1)、(2)可发现：AOBCOD.例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(4)你能肯定上述的发现吗？解：(4)AOBBOCAOC90，BOCCODBOD90，AOBBOCBOCCOD.AOBCOD.【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验猜想归纳结论推理正确结论当堂练习当堂练习1.下列结论中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人2.下列问题用到推理的是（）A.根据a=10，b=10,得到a=bB.观察得到三角形有三个角C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘D.由经验可知过两点有且只有一条直线BA4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：罪犯不在A,B,C三人之外；C作案时总得有A作从犯；B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（）A嫌疑犯A B嫌疑犯B C嫌疑犯CD嫌疑犯A和CD 3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是 （）A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形D为什么要证明数学结论必须经过严格的论证课堂小结课堂小结实验验证举出反例推理证明论证方法7.2 定义与命题第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 定义与命题八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果那么”的形式（重点）2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例（难点）导入新课导入新课观察与思考小华与小刚正在津津有味地阅读我们爱科学.这个黑客终于这个黑客终于被逮住了被逮住了.是的是的,现在的因特网现在的因特网广泛运用于我们的生广泛运用于我们的生活中活中,给我们带来了给我们带来了方便方便,但但.这个黑客是个这个黑客是个小偷吧？小偷吧？可能是个喜欢可能是个喜欢穿黑衣服的贼穿黑衣服的贼.坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.小明的小明的百米成绩有进步，百米成绩有进步，已达到已达到9 9秒秒9.9.好！好！继续努力继续努力,争取争取超过超过1010秒秒.不要再抢啦！不要再抢啦！每个人发一个球！每个人发一个球！有一位田径教练向领导汇报训练成绩；相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:讲授新课讲授新课定义一 交流必须对某些名称和术语有共同的语言认识才能进行.根据上面的情境，你能得出什么结论？要对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定.也就是给出它们的定义.请你举出你所熟知的一些定义例子例如:1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;2.“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义;3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.你还能举出曾学过的“定义”吗?1.无限不循环小数称为无理数；2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；3.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；4.一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数.想一想命题二 下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.1.任何一个三角形一定有一个角是直角；2.对顶角相等；3.无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；4.如果两天直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；5.你喜欢数学吗？6.做线段AB=CD.2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么 它就不是命题.如：画线段AB=CD.1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.注意：像这样判断一件事情的语句，叫作命题（statement）.命题的概念概念学习典例精析例1：下列句子都是命题吗？(1)熊猫没有翅膀.如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.(2)对顶角相等.如果两个角是对顶角，那么它们就相等.(3)平行于同一条直线的两条直线平行.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.都是命题 命题一般都可以写成“如果那么”的形式.反之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.清新的空气.不许讲话！1.如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；3.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；这些命题有什么共同的结构特征？观察下列命题：命题一般都可以写成“如果那么”的形式.1.“如果”后接的部分是题设,2.“那么”后接的部分是结论.如命题：熊猫没有翅膀.改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.命题题设结论已知事项由已知事项推出的事项 两直线平行，同位角相等题设（条件）结论命题的组成：总结归纳例2：下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果ab,bc,那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形的面积相等.解:（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.(2)条件：ab,bc，结论：a=c.(3)条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，结论：这两个三角形全等.(4)条件：两个三角形全等，结论：它们的面积相等.特别规定：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”想一想“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道张三家没有种玉米。所以我家玉米肯定是张三捌的.”片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷捌了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯:吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米?”李老汉想证明什么？他是怎么证明的？这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.故事分析根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边的县丞道：“师爷，你怎么看？”县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的，才行。如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。”从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么判断就很容易了.说明假命题的方法：举反例举反例使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.（1）同旁内角互补（）（4）两点可以确定一条直线（）（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（）（2）一个角的补角大于这个角（）判断下列命题的真假.真的用“”，假的用“表示.（5）两点之间线段最短（）（3）相等的两个角是对顶角（）（6）同角的余角相等（）练一练当堂练习当堂练习下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？对顶角相等.画一个角等于已知角.两直线平行，同位角相等.a、b两条直线平行吗？温柔的李明明.玫瑰花是动物.若a24，求a的值.若a2 b2，则ab.不是是不是不是是不是是是(9)八荣八耻是我们做人的基本准则.是2 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）正数大于一切负数吗？（2）两点之间线段最短.（3）不是无理数.（4）作一条直线和已知直线平行.（）（）（）（）定义与命题定义课堂小结课堂小结概念：判断一个事件的句子结构：如果那么分类：真命题、假命题命题7.2 定义与命题第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 定理与证明八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理（重点）2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性（难点）导入新课导入新课观察与思考如何证实一个命题是真命题呢？用我们以前用我们以前学过的观察学过的观察,实验实验,验证特验证特例等方法例等方法.这些方法这些方法往往并不往往并不可靠可靠.那已经知道的那已经知道的真命题又是如真命题又是如何证实的何证实的?能不能根据已能不能根据已经知道的真命经知道的真命题证实呢题证实呢?哦哦那可那可怎么办怎么办讲授新课讲授新课公理与定理一思考：如何证实一个命题是真命题呢？了解原本与几何原本；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例1.原名:某些数学名词称为原名.2.公理:公认的真命题称为公理.3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.4.定理:经过证明的真命题称为定理.证实其他命题的正确性 推理推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理原名、公理一些条件+总结归纳本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线;2.两点之间线段最短;3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;8.三边分别相等的两个三角形全等.公理等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.其他公理证明定理“对顶角相等”例1：如图，直线AB与直线CD相交于点O，AOC与BOD是对顶角.求证：AOC=BOD证明：AOB与COD都是平角()平角的定义 AOCAOD180补角的定义 AOC=BOD()同角的补角相等直线AB与直线CD相交于点O()BODAOD180()已知例2 已知：bc，ab 求证：ac证明：a b（已知）1=90（垂直的定义）又 b c（已知）2=1=90（两直线平行，同位角相等）a c（垂直的定义）.abc12典例精析当堂练习当堂练习1.“两点之间，线段最短”这个语句是（）A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题BC命题证明：推理的过程课堂小结课堂小结公理：公认的真命题定理：经过证明的真命题分类7.3 平行线的判定第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解并掌握平行线的判定公理和定理（重点）2.了解证明的一般步骤（难点）导入新课导入新课观察与思考请找出图中的平行线！它们为什么平行?讲授新课讲授新课平行线的判定一公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行你认为“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”这个命题正确吗？说明理由.据说,人类知识的75%是在操作中学到的.小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？通过这个操作活动,得到了什么结论?实验猜想定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?abc132如图,1和2是直线a,b被直线c截出的内错角,且1=2.求证:ab.证明:1=2(已知),1=3(对顶角相等).2=3.(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行).定理证明判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.2ba133=2(已知)ab （内错角相等，两直线平行）应用格式：总结归纳“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗？说明理由.abc132如图，1和2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且1与2互补.求证：ab定理证明证明:1与2互补(已知),1+2=180(互补的定义).1=180-2(等式的性质).又3+2=180(平角的定义),3=180-2(等式的性质).1=3(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行).判定方法3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.应用格式：2ba131+2=180(已知)ab （同旁内角互补，两直线平行）总结归纳 2=6（已知）_()3=5（已知）_()4+_=180o（已知）_()ABCDABCD5ABCDAC14235867BD同位角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补,两直线平行FE典例精析例1：根据条件完成填空.1=_（已知）ABCE()1+_=180o（已知）CDBF()1+5=180o（已知）_()ABCE2 4+_=180o（已知）CEAB()3313542CFEADB内错角相等,两直线平行同旁内角互补,两直线平行同旁内角互补,两直线平行同旁内角互补,两直线平行练一练：根据条件完成填空.ABABMNMN（内错角相等，两直线平行（内错角相等，两直线平行.）解：解：MCAMCA=A A（已知）（已知）又又 DECDEC=B B（已知）（已知）ABABDEDE（同位角相等，两直线平行（同位角相等，两直线平行.）DEDEMNMN（如果两条直线都和第三条直线平行，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行.）例2：如图，已知MCA=A，DEC=B，那么DEMN吗？为什么？AEBCDNM 已知3=45，1与2互余，试说明？解：1=2（对顶角相等）1+2=90(已知)1=2=45 3=45(已知)2=3 ABCD(内错角相等，两直线平行)123ABCDAB/CD练一练例3：如图所示，已知OEB=130，OF平分 EOD，FOD=25，ABCD吗？试说明解：ABCD；OF平分EOD，FOD=25 EOD=50 OEB=130 EOD+OEB=180 ABCD.内错角相等，两直线平行.同旁内角相等，两直线平行.同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角相等，两直线平行.当堂练习当堂练习1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到ab的是()A.1=2 B.2=4C.3=4 D.1+4=180【解析】1的对顶角与4是同旁内角，若1+4=180，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到ab.D2.如图所示，1=75，要使ab,则2等于()A.75B.95C.105D.115ab1 12 2【解析】1的同位角与2互为补角，所以2=180-75=105.C3.如图，请填写一个你认为恰当的条件_，使ABCD.【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是CDA=DAB或PCD=BAC或BAC+ACD=180等.答案：答案不唯一，如CDA=DAB.4.如图,已知1=30,2或3满足条件_ _ _，则a/b.213abc2150或3305.如图.（1）从1=4，可以推出 ，理由是 .(2)从ABC+=180，可以推出ABCD，理由是 .ABCD12345AB内错角相等，两直线平行CDBCD同旁内角互补,两直线平行(3)从 =，可以推出ADBC，理由是 .(4)从5=，可以推出ABCD，理由是 .23内错角相等，两直线平行ABC同位角相等,两直线平行ABCD12345 判定两条直线平行的方法同位角内错角同旁内角1=23=22+4=180文字叙述符号语言图形 相等，两直线平行 (已知),ab_ _相等,两直线平行 (已知),ab _互补,两直线平行 (已知),ab课堂小结课堂小结abc12437.4 平行线的性质第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.理解并掌握平行线的性质公理和定理（重点）2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明（难点）两直线平行 1.同位角相等2.内错角相等3.同旁内角互补问题 平行线的判定方法是什么？思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?导入新课导入新课回顾与思考讲授新课讲授新课平行线的性质合作探究问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？ABCDEFMN12问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知，如图，直线ABCD,1和2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.求证：1=2.文字语言符号语言ABCDEFMN12问题3：你能说说证明的思路吗？ABCDEFMNGH12证明：假设1 2，那么我们可以过点M作直线GH，使EMH=2，如图所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH CD.又因为AB CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明1 2的假设不成立，所以1=2.如果1 2，AB与CD的位置关系会怎样呢？一般地，平行线具有如下性质：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.b12ac1=2 （两直线平行，同位角相等）ab（已知）应用格式:总结归纳议一议利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.尝试来证明一下定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.12bc3a已知：直线ab，1和2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证：1=2.证明：ab(已知)，23(两条直线平行，同位角相等)13(对顶角相等)，1=2(等量代换)定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补12bc3a已知：直线ab，1和2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证：1+2=180.证明：ab(已知)23(两条直线平行，同位角相等)1+3=180(平角等于180)1+2=180 (等量代换).证明：ab，1=2，同理2=3，1=3，ac.定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且ab,cb.求证：ac.平行线的性质公理:两直线平行,同位角相等.ab,1=2.性质定理1:两直线平行,内错角相等.ab,1=2.性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.ab,1+2=1800.abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用.总结归纳归纳总结证明一个命题的一般步骤：(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知,求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.典例精析ADCB例1：如图所示，已知四边形ABCD 中，ABCD，ADBC,试问A与C，B与D 的大小关系如何？解：A=C,B=D理由：ABCD （已知）B+C=180（两直线平行，同旁内角互补）又 ADBC （已知）C+D=180（两直线平行，同旁内角互补）B=D （同角的补角相等 ）同理 A=CADCB例2：已知，如图，ABCD，B=D，求证：ADBC.证法一：ABDC（已知）B+C=180 （两直线平行，同旁内角互补）B=D（已知）D+C=180（等量代换）ADBC（同旁内角互补，两直线平行）ADCB例2：已知，如图，ABCD，B=D，求证：ADBC.证法二：如图，延长BA（构造一组同位角）ABCD（已知）1=D（两直线平行，内错角相等）B=D（已知）1=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）1ADCB例2：已知，如图，ABCD，B=D，求证：ADBC.证法三：如图，连接BD（构造一组内错角）ABCD（已知）1=4（两直线平行，内错角相等）B=D（已知）B1=D4（等式的性质）2=3 ADBC（内错角相等，两直线平行）1234两直线平行 同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质线的关系角的关系性质角的关系线的关系判定讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）平行线的判定与性质素材：探索平行线的性质（播放状态下，点击画面操作）双击播放当堂练习当堂练习1.下列图形中，由ABCD，能得到1=2的是()B解:A=D.理由：ABDE()A=_ ()ACDF()D=_()A=D()2.如图1,若ABDE,ACDF，请说出A和D之 间的数量关系，并说明理由.PFCEBAD 图已知CPE两直线平行,同位角相等已知 CPE 两直线平行,同位角相等等量代换解:A+D=180o.理由：ABDE()A=_()ACDF()D+_=180o()A+D=180o（）如图2,若ABDE,ACDF，请说出A和D之间的数量关系，并说明理由.图2FCEBADP已知CPD两直线平行,同位角相等已知CPD两直线平行,同旁内角互补等量代换3.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 1=110o可以知道2 是多少度,为什么？(2)从1=110o可以知道 3是多少度,为什么？(3)从 1=110o可以知道4 是多少度,为什么？23E14ABDC解：(1)2=110o 两直线行，内错角相等；（2）3=110o 两直线平行,同位角相等；（3）4=70o 两直线平行,同旁内角互补.4.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第 一次拐的B是142o，第二次拐的C是多少度？为什么？解：C=142o 两直线平行,内错角相等.BC5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得A=100，B=115，梯形的另外两个角分别是多少度？ABCD解：因为梯形上、下底互相平行，所以 A与D互补，B与C互补.所以梯形的另外两个角分别是80、65.于是D=180-A=180-100=80C=180-B=180-115=65同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行判定性质已知得到得到已知课堂小结课堂小结7.5 三角形内角和定理第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 三角形内角和定理八年级数学上（BS）教学课件学习目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180.（重点）我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新课导入新课情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？锐角三角形锐角三角形测量测量48480 072720 060600 060600 048480 072720 01801800 0（学生运用学科工具学生运用学科工具量角器测量演示量角器测量演示）剪拼剪拼ABC21（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？讲授新课讲授新课三角形的内角和定理的证明一探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.验证结论三角形三个内角的和等于180.求证：A+B+C=180.已知：ABC.证法1：过点A作lBC，B=1.(两直线平行,内错角相等)C=2.(两直线平行,内错角相等)2+1+BAC=180，B+C+BAC=180.12证法2：延长BC到D，过点C作CEBA，A=1.(两直线平行，内错角相等)B=2.(两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.CBAED12CBAEDF证法3：过D作DEAC,作DFAB.C=EDB,B=FDC.(两直线平行，同位角相等)A+AED=180,AED+EDF=180，(两直线平行，同旁内角相补)A=EDF.EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.想一想：同学们还有其他的方法吗？思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.C A B 12345l A C B 12345l P 6m ABCDEC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.u思路总结 为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.u作辅助线例1 如图，在ABC中，BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.ABCD解：由BAC=40,AD是ABC的角平分线，得BAD=BAC=20.在ABD中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85.三角形的内角和定理的运用二【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数解：A50，B70，ACB180AB60.CD是ACB的平分线，BCD ACB30.DEBC，EDCBCD30，在BDC中，BDC180BBCD=80.例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.解：DEAB，FEA90在AEF中，FEA90，A30，AFE180FEAA60.又CFDAFE，CFD60.在CDF中，CFD60，FCD80，D180CFDFCD40.基本图形由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.总结归纳4例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.解:设B为x，则A为(3x)，C为(x 15)，从而有3x x(x 15)180.解得 x 33.所以 3x 99，x 15 48.答：A，B，C的度数分别为99，33，48.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.【变式题】在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数比例关系可考虑用方程思想求角度.解：A B ACB，设Ax，B2x，ACB3x.ABACB180，x2x3x180，得x30，A30，ACB90.CD是ABC的高，ADC90，ACD180903060.CE是ACB的平分线，ACE 9045，DCEACDACE604515.在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形.练一练：在ABC中，A=35，B=43，则 C=.在ABC中，A=B+10,C=A+10,则 A=，B=，C=.102直角605070北.AD北.CB.东E例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.解：CAB=BAD-CAD=80-50=30.由AD/BE,得BAD+ABE=180.所以ABE=180-BAD=180-80=100,ABC=ABE-EBC=100-40=60.在ABC中，ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90,答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.北.AD北.CB.东E【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.解：如图，由题意得BEAD,BAD=40，CAD=15，EBC=80，EBA=BAD=40，BAC=40+15=55,CBA=EBC-EBA=80-40=40，ACB=180-BAC-ABC =180-55-40=85DE当堂练习当堂练习1.求求出下列各图中的x值x=70 x=60 x=30 x=50 2.如图，则1+2+3+4=_.BACD4132E40（280 3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数解：A+ADE=180，ABDE，CED=B=78又C=60，EDC=180-（CED+C）=180-（78+60）=424.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC求ADC的度数.解：B=42，C=78，BAC=180-B-C=60.AD平分BAC，CAD=BAC=30，ADC=180-B-CAD=72.5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数解：ABC中，A=60，ABC+ACB=120BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB）=60PBC+PCB+BPC=180，BPC=180-60=120拓 展课堂小结课堂小结三 角 形 的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 7.5 三角形内角和定理第七章 平行线的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 三角形的外角八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解并掌握三角形的外角的定义（重点）2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算（难点）导入新课导入新课复习引入1.在ABC中，A=80,B=52,则C=.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180.2.如图，在ABC中，A=70,B=60,则ACB=，ACD=.ABCD50 130BDCAO40 70？问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知BAC=40，ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？思考：像BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO40 70？由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70，所以BCD=180BCA=110.讲授新课讲授新课三角形的外角的概念一u定义如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.ACD是ABC的一个外角CBAD问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.ACD 与BCE为对顶角，ACD=BCE；CBADBCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.问题2 如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.ACD是ABC的一个外角CBAD 每一个三角形都有6个外角总结归纳FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？BEC是AEC的外角;AEC是BE