2019高中数学 第二章2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案4.doc

12.2.32.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义学习目标：1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点)自 主 预 习·探 新 知1向量的数乘运算定义实数与向量a a的乘积是一个向量记法a a长度|a a|a a|0方向与a a的方向相同 方向 0方向与a a的方向相反思考：(1)何时有a a0?(2)从几何角度考虑，向量 2a a和a a与向量a a分别有什么关系？1 2提示 (1)若0 或a a0 0 则a a0 0.(2)2a a与a a方向相同，2a a的长度是a a的长度的 2 倍，a a与a a方向相反，a a的长度1 21 2是a a的长度的 .1 22向量的数乘运算的运算律设，为任意实数(a a)()a a；()a aa aa a；(a ab b)a ab b.3共线向量定理向量a a(a a0 0)与b b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得b ba a.4向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a a，b b，以及任意实数，1，2，恒有(1a a±2b b)1a a±2b b.基础自测1思考辨析(1)对于任意的向量a a，总有 0·a a0.( )(2)当0 时，|a a|a a.( )2(3)若a a0 0，0，则a a与a a的方向相反( )解析 (1)错误.0·a a0 0；(2)错误|a a|a a|(0)(3)错误当0 时，0，a a与a a的方向相同答案 (1)× (2)× (3)×2点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )A.3 B.2ABBCACBCC. D.2AC1 2BCACCBD D 由题意可知：3；22.故只有 D 正确ABBCACBCCB3如图 2­2­27，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO则_.图 2­2­272 由向量加法的平行四边形法则知.ABADAC又O是AC的中点，AC2AO，2，2，ACAOABADAO2.合 作 探 究·攻 重 难向量的线性运算(1)若 3(x xa a)2(x x2a a)4(x xa ab b)0 0，则x x_.(2)化简下列各式：3(6a ab b)9；(a a1 3b b)2；1 23a a2b b(a a1 2b b)(1 2a a3 8b b)2(5a a4b bc c)3(a a3b bc c)7a a.(1)4b b3a a (1)由已知得 3x x3a a2x x4a a4x x4a a4b b0，所以x x3a a4b b0，所以x x4b b3a a.(2)原式18a a3b b9a a3b b9a a.原式a ab ba ab ba ab b0 0.1 2(2a a3 2b b)3 43 43 4原式10a a8b b2c c3a a9b b3c c7a ab bc c.3规律方法 向量数乘运算的方法1向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项” “公因式”指向量，实数看作是向量的系数.2向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.跟踪训练1(1)化简；2 34a a3b b1 3b b1 46a a7b b(2)已知向量为a a，b b，未知向量为x x，y y，向量a a，b b，x x，y y满足关系式3x x2y ya a，4x x3y yb b，求向量x x，y y.解 (1)原式2 3(4a a3b b1 3b b3 2a a7 4b b)2 3(43 2)a a(31 37 4)b ba ab b.2 3(5 2a a11 12b b)5 311 18(2)Error!由×3×2 得，x x3a a2b b，代入得 3×(3a a2b b)2y ya a，所以x x3a a2b b，y y4a a3b b.用已知向量表示未知向量(1)如图 2­2­28，ABCD中，E是BC的中点，若a a，b b，则( )ABADDE图 2­2­28Aa ab b Ba ab b1 21 2Ca ab bDa ab b1 21 2(2)如图 2­2­29 所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a a，b b，试用a a，b b分别表示， ，. BCBDDECEMN4图 2­2­29思路探究 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示(1 1)D D (1)DEDCCEAB(1 2AD)a ab b.AB1 2AD1 2(2)由三角形中位线定理，知DE綊BC，故，即a a.1 2DE1 2BCDE1 2a ab ba aa ab b.CECBBDDE1 21 2a ab ba aa ab b.MNMDDBBN1 2EDDB1 2BC1 41 21 4母题探究：1.本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a a，b b表示.AG解 因为DGAB，所以DFGBFA，又因为DF ×BDBD，1 2OD1 21 21 4所以 ，DG ABDF BF1 3所以a ab b.AGADDGAD1 3AB1 32本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a a，b b，用a a，b b表示.DEDFDB解 由题意Error!解得Error!所以a ab b.DBABAD2 32 3规律方法 用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法5(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.向量共线问题探究问题1已知m m，n n是不共线向量，a a3m m4n n，b b6m m8n n，判断a a与b b是否共线？提示：要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数，使得a ab b即可若a a与b b共线，则存在R R，使a ab b，即 3m m4n n(6m m8n n)m m，n n不共线，Error!不存在同时满足此方程组，a a与b b不共线2设两非零向量e e1和e e2不共线，是否存在实数k，使ke e1e e2和e e1ke e2共线？提示：设ke e1e e2与e e1ke e2共线，存在使ke e1e e2(e e1ke e2)，则(k)e e1(k1)e e2.e e1与e e2不共线，只能有Error!则k±1.(1)已知非零向量e e1，e e2不共线，如果e e12e e2，5e e16e e2，7e e12e e2，则共线的三个点是_ABBCCD(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值OPOAOB思路探究 (1)将三点共线问题转化为向量共线问题，例如可推出A，B，D三ABBD点共线(2)先用共线向量定理引入参数得，再用向量减法的几何意义向APABxy变形，最后对比求xy.OPOAOB(1)A，B，D (1)e e12e e2，5e e16e e27e e12e e22(e e12e e2)ABBDBCCD2.AB，共线，且有公共点B，ABBD6A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实ABAP数使得，即()，(1).APABOPOAOBOAOPOAOBx1，y，则xy1.规律方法 1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得AB(或等)即可ACBCAB(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy且xy1.OAOBOC2利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得a ab b(b b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值当 堂 达 标·固 双 基1设a a，b b是两个不共线的向量若向量ka a2b b与 8a akb b的方向相反，则k( )A4 B8C4D8A A 因为向量ka a2b b与 8a akb b的方向相反，所以ka a2b b(8a akb b)Error!k4(因为方向相反，所以0k0)2(2018·全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则( )EBA. B.3 4AB1 4AC1 4AB3 4ACC. D.3 4AB1 4AC1 4AB3 4ACA A 由题可得 ().EBEAAB1 4ABACAB3 4AB1 4AC3对于向量a a，b b有下列表示：a a2e e，b b2e e；a ae e1e e2，b b2e e12e e2；a a4e e1e e2，b be e1e e2；2 51 107a ae e1e e2，b b2e e12e e2.其中，向量a a，b b一定共线的有( )A BCDA A 对于，b ba a，有a ab b；对于，b b2a a，有a ab b；对于，a a4b b，有a ab b；对于，a a与b b不共线4若|a a|5，b b与a a方向相反，且|b b|7，则a a_b b. 由题意知a ab b.5 5 7 75 75如图 2­2­30 所示，已知，用，表示.AP4 3ABOAOBOP图 2­2­30解 ()OPOAAPOA4 3ABOA4 3OBOA.1 3OA4 3OB