2019高中数学 第2章 数列 2.1 数列及等差数列的概念学案 苏教版必修5.doc

1等比数列的概念与通项公式等比数列的概念与通项公式一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明数列及等差数列的概念1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ；2. 理解数列的通项公式和递推公式；3. 能够求简单的数列的通项公式；4. 掌握等差数列的概念选择题填空题数列和等差数列的概念是数列的基础，注意数列是特殊的函数这一特征二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：数列和等差数列的判断。难点：难点：求简单的数列的通项公式。考点一：数列的概念考点一：数列的概念（1）定义定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项， 第n项记做na。 （2）通项公式通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。【核心突破核心突破】 数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式特殊的函数解析式，即( )naf n。 并非并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如的不足近似值，按精确的程度可形 成3,3.1,3.14,3.141,，它就没有通项公式。 如果一个数列有通项公式，在形式上可以不止一个不止一个。换言之，一个数列的通项公式可以有多种形式。例如：数列1 , 1, 1 , 1, 1 , 1的通项公式可以写成( 1)nna ，还可以写成1,(21) 1,(2 )nnkank其中*kN。 数列中的项必须是数必须是数，它可以是实数，也可以是复数（待以后学习） 。 用符号an表示数列，只不过“借用”集合的符号，它们之间有本质的区别：a. 集合中的元素是互异互异的，而数列中的项可以是相同相同的。b. 集合中的元素是无序无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，必须是有序有序的。（3）数列的分类数列的分类 按照项数有限还是无限来分：有穷数列和无穷数列. 按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数来分：有界数列和无界数列。（4）数列的表示法数列的表示法数列可以用解析式、列表或图象来表示。（5）数列递推公式数列递推公式2数列的第n项na与它前面相邻一项1na（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式。（6）数列的前数列的前n n项和公式项和公式 数列an的前n项和nS与n的关系可用一个公式表示，则这个公式叫做数列的前n项和公式。 考点二：数列与函数的关系考点二：数列与函数的关系（1）数列与函数的关系：（2）数列的通项公式na可用( )f n来代替。数列的一般形式为12,.,.na aa，简记为an。（3）数列是一个特殊的函数，其图象是一系列的点一系列的点。考点三：等差数列的概念考点三：等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前面相邻的项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。 符号语言：若an中，1nnaad（d为常数） ，则an为等差数列。注意：注意：等差数列的定义既是一种判定方法判定方法，也是一种性质性质。例题例题 1 1（利用观察法求数列的通项公式）（利用观察法求数列的通项公式）写出下列数列的一个通项公式。（1）32，154，356，638，；（2）1，23，45，87，169，；（3）3，3，15，21，33，；（4）9，99，999，9999，。思路分析：思路分析：观察归纳an与n的关系验证结论得出答案。答案：答案：（1）根据题意分析可知：分子为 2 的倍数，即为 2n，分母比分子的平方小 1，所以an1)2(22nn。（2）该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值为11，23，45，87，169，所以an1212) 1(nnn。（3）该数列的各项都可以写成根式3，9，15，21，27，即13，33，53，73，93，3所以an36) 1(32nn。（4）因为 91011，991021，9991031，9 9991041，所以an10n1。技巧点拨：技巧点拨：1. 本题中探寻数列中的项与项数 n 之间的关系时应注意：（1）对于分式的分母分子应分别考虑，各个击破；（2）正负项交替出现时要引入控制符号的因式（1）n。2. 此类问题主要靠观察（观察规律） 、比较（比较已知数列） 、归纳、转化（转化为特殊数列） 、联想（联想常见的数列）等方法，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号 n 相关且便于表达的关系，具体方法为：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特征。例题例题 2 2（等差数列的证明）（等差数列的证明）已知数列an满足：a14，an414na（n2） ，bn21 na。求证数列bn是等差数列。思路分析：思路分析：21 211nnaa常数bn1bn常数数列bn是等差数列。答案：答案：因为an414na（n2） ，所以an122na4nn aa)2(2，所以21 21 )2(2211nnnnaaa a（n1） ，故21 21 211nnaa（n1） ，即bn1bn21（nN N*） 。所以数列bn是等差数列。技巧点拨：技巧点拨：本题中，对条件的转化使用是个难点，应掌握对条件的恰当转化。灵活设元求解等差数列灵活设元求解等差数列已知四个数成等差数列，且四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这个等差数列。思路分析：思路分析：若设四个数分别为a，ad，a2d，a3d，列出方程组可以求解，但解4方程时较麻烦，若对称设四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，则解方程时会很简单。答案：答案：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，由题设知 ,40)(,26)3()()()3( dadadadadada解得 23,213da或 。23,213da所以这个数列为 2，5，8，11 或 11，8，5，2。技巧点拨：技巧点拨：1. 本题利用对称设法设出数列中的四个数，由四数之和为定值，可直接求出未知量a，进一步可以很方便地求出d。 2. 当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法，三个数时，设 ad，a，ad；四 个数时，设 a3d，ad，ad，a3d，再由题目其他条件建立关于 a、d 的方程组，通 过解方程组求出所要结果。