2019高中数学 第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1.doc

13.1.43.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点)自 主 预 习·探 新 知1空间向量基本定理如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在有序实数组x，y，z，使得p pxa ay b bzc c其中a a，b b，c c叫做空间的一个基底，a a，b b，c c都叫做基向量思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组x，y，z是否唯一？提示 (1)不能因为 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面(2)唯一确定2空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e e1，e e2，e e3空间直角坐标系以e e1，e e2，e e3的公共起点O为原点，分别以e e1，e e2，e e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p p，存在有序实数组x，y，z，使得p pxe e1ye e2ze e3，则把x，y，z称作向量p p在单位正交基底e e1，e e2，e e3下的坐标，记作p p(x，y，z)基础自测1思考辨析(1)若a a，b b，c c为空间一个基底，且p pxa ayb bzc c若p p0，则xyz0 0.( )(2)若三个非零向量a a，b b，c c不能构成空间的一个基底，则a a，b b，c c共面( )(3)以原点O为起点的向量的坐标和点P的坐标相同( )OP(4)若(2,3,0)，则点P在平面xOy内( )OP答案 (1) (2) (3) (4)2在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A ， ， B ，ABACADABAA1AB1C， D，D1A1D1C1D1DAC1A1CCC12C C 由题意知，不共面，可以作为空间向量的一个基底D1A1D1C1D1D3设e e1，e e2，e e3是空间向量的一个单位正交基底，a a4e e18e e23e e3，b b2e e13e e27e e3，则a a，b b的坐标分别为_. 【导学号：46342147】a a(4，8,3) b b(2，3,7) 由题意知a a(4，8，3)，b b(2，3,7)合 作 探 究·攻 重 难基底的判断(1)设x xa ab b，y yb bc c，z zc ca a，且a a，b b，c c是空间的一个基底，给出下列向量组：a a，b b，x x，x x，y y，z z，b b，c c，z z，x x，y y，a ab bc c其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A1 个 B2 个C3 个D4 个(2)已知e e1，e e2，e e3是空间的一个基底，且e e12e e2e e3，3e e1e e22e e3，e e1e e2e e3，试判断， ，能否作为空间OAOBOCOAOBOC的一个基底解 (1)如图所示，令a a，b b，c c，ABAA1AD则x x，y y，z z，AB1AD1ACa ab bc cAC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x x，y y，z z也不共面，同理b b，c c，z z和x x，y y，a ab bc c也不共面，故选 C答案 C(2)设xy，则OAOBOCe e12e e2e e3x(3e e1e e22e e3)y(e e1e e2e e3)，即e e12e e2e e3(y3x)e e1(xy)e e2(2xy)e e3Error!此方程组无解即不存在实数x，y使得xy，OAOBOC所以， ，不共面OAOBOC3所以， ，能作为空间的一个基底OAOBOC规律方法 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设a ab b c c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟踪训练1若a a，b b，c c是空间的一个基底，试判断a ab b，b bc c，c ca a能否作为空间的一个基底解 假设a ab b，b bc c，c ca a共面，则存在实数，使得a ab b(b bc c)(c ca a)，即a ab ba ab b()C Ca a，b b，c c是空间的一个基底，a a，b b，c c不共面Error!此方程组无解即不存在实数，使得a ab b(b bc c)(c ca a)，a ab b，b bc c，c ca a不共面故a ab b，b bc c，c ca a能作为空间的一个基底用基底表示向量如图 3­1­29，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a a，b b，c c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a a，b b，c c表示：， ， ，.OAOCOPBFBEAEEF图 3­1­29思路探究 利用图形寻找待求向 量与a a，b b，c c的关系利用向量运 算进行分拆直至向量用 a a，b b，c c表示解 连接BO，则 () (c cb ba a)a ab bC CBF1 2BP1 2BOOP1 21 21 21 24 ()a ab bC CBEBCCEBC1 2CPBC1 2COOP1 21 2 ()a ac c (c cb b)a ab bC CAEAPPEAOOP1 2POOC1 21 21 2a a.EF1 2CB1 2OA1 2规律方法 1.本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底a a，b b，c c，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止2基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘跟踪训练2点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为( ) PM2 3PCPNNDMNABADAP【导学号：46342148】A ， B， ，2 31 61 62 31 61 6C ，D ， ，2 31 61 62 31 61 6D D 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则()MNENEM1 2CDPMPE1 2CD ()，比较知(2 3PC12PC)1 2CD1 6PC1 2AB1 6APABAD2 3AB1 6AD1 6AP5x ，y ，z ，故选 D2 31 61 6空间向量的坐标表示探究问题1在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知ABC的边长为 1，三棱柱的高为 2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示：分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以， ，的方向为x轴、y轴、DCDADD1z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示2若(a，b，c)，则的坐标是多少？ABBA提示：(a，b，c)BA如图 3­1­30，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90°，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标BNBA1A1B图 3­1­30思路探究 以点C为原点，分别以， ，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建CACBCC1立空间直角坐标系，然后，把BN，分别用， ，表示出来，再写出它们的坐BA1A1BCACBCC1标解 法一：由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示6，BNANAB1 2CC1CACBCACB1 2CC1的坐标为(1，1,1)，BN而，BA1CA1CBCACBCC1的坐标为(1，1,2)BA1又，的坐标为(1,1，2)A1BBA1A1B法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，(1，1,1)，(1，1,2)，(1,1，2)BNBA1A1B规律方法 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图 3­1­31所示建立空间直角坐标系图 3­1­31(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，的坐标EFB1FA1E解 (1)由图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)7所以(2，1，1)，(2，1，2)，(0,2，1)EFB1FA1E当 堂 达 标·固 双 基1O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不能构成空间的一个基底，则( )OAOBOCA ， ，共线 B ，共线OAOBOCOAOBC ，共线DO，A，B，C四点共面OBOCD D 由题意知，向量， ，共面，从而O，A，B，C四点共面OAOBOC2在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )A向量的坐标与点B的坐标相同ABB向量的坐标与点A的坐标相同ABC向量与向量的坐标相同ABOBD向量与向量的坐标相同ABOBOAD D 因为A点不一定为坐标原点，所以 A，B，C 都不对；由于，故 D 正ABOBOA确3设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xOGyz，则(x，y，z)为( ) OAOBOC【导学号：46342149】A B(1 4，1 4，1 4)(3 4，3 4，3 4)C D(1 3，1 3，1 3)(2 3，2 3，2 3)A A 如图，由已知1OG3 4OG ()3 4OAAG1 ()3 4OA1 3ABAC8 ()()3 4OA1 4OBOAOCOA，1 4OA1 4OB1 4OC从而xyz .1 44三棱锥P­ABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以， ，为基底，则的坐标为_BABCBPMN(1 2，0，1 2)MNBNBM () ()1 2BABC1 2BPBC，1 2BA1 2BP故.MN(1 2，0，1 2)5如图 3­1­32 所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设a a，b b，c c，PABADAA1是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a a，b b，c c表示以下向量：图 3­1­32(1)；(2).APAM解 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中连接AC，AD1，9(1) ()AP1 2ACAA1 () (a ab bc c)1 2ABADAA11 2(2) ()AM1 2ACAD1 (2)1 2ABADAA1 ab c1212