初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质.pdf

第 1 讲圆的根本性质知识总结归纳一圆的定义：1描述性定义：在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径2集合性定义：平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径3圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O，读作“圆O。4同圆、同心圆、等圆：圆心一样且半径相等的圆叫同圆；圆心一样，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：同圆或等圆的半径相等二弦和弧：1弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦2直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍3弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距4弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的圆弧记作AB，读作弧AB5等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧6半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆7优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧8弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形三垂径定理：1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2推论 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等四圆心角和圆周角1圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等2圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角3圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量分别相等五直线与圆的位置关系设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系相离图形rdOlOl定义直线与圆没有公共点直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与圆有两个公共点，直线叫做性质及判定d r 直线l与O相离相切rdd r 直线l与O相切相交六.切线的判定rdOl圆的割线d r 直线l与O相交1定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线七.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。典型例题一.垂径定理及圆的对称性【例1】如下图，在O与三角形所组成的图形中，OAOB，求证:AC BD【例2】如下图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试证明：AC BD【例3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E，GB 8cm，AG 1cm，DE 2cm，则EF _【例4】如下图，在RtABC中C 90，AC 2，BC 1，假设以C为圆心、CB的长为半径的圆交AB于P，则AP_【例5】如图，O的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度【例6】如图，在O的直径PQ上取一点M，过M作两条弦AB、CD，假设PMA PMC，求证：MD MBP二.圆心角和圆周角AC【例7】如图，O是ABC的外接圆，ABO50，则ACB的大小为_MODQB【例8】：如图，四边形ABCD是O的接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是_【例9】如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的度数分别是70、40，则1的度数为_【例10】如图，AB是O的直径，CD是O的弦假设BAD23，则ACD的大小为_【例11】如图，APC30，弧BD的度数为30，求弧AC和AEC的度数【例12】如图，ACD的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA BD【例13】如图，锐角ABC接于圆O，ABC 60，BAC 36，作OE AB交劣弧AB于点E，连结EC，求OECA【例14】如图，AB是O的直径，点C，D，E都在O上，假设C ED E，求AB【例15】过O上一点M作弦MA，MB，MC，使AMB BMC，如图，过点B作BE MA于E，OBF MC于F，求证：AE CFBAM DCC【例16】点A、B、C顺次在圆O上，弧AB 弧BD，BM AC于M，求证：CMB三.直线与圆相切CM【例17】如图，ABC为等腰三角形，AB AC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D，求证：AC与O相切O【例18】如下图在RtABC中，B 90，A的平分线交BC于D，E为A DC，AB上一点，DED以D为圆心，以DB的长为半径画圆求证：1AC是D的切线；2AB EB AC【例19】如图，以直角梯形ABCD中，以AB为直径的圆与CD相切，求证：以CD为直径的圆与AB相切【例20】：如图，AB是O的直径，求C为O上一点，MN过C点，AD MN于D，AC平分DAB证：MN为O的切线【例21】如图，且AP PC，PC满ABPB ACPC ABPC ACPB，PA分别切O于A、B两点，PAB 2BPC，求ACBP【例22】如 图，O与 直 角ABC的 斜 边AB相 切 于D，与 直 角 边AC相 交 于 点E，且DEBCAE 2 2，AC 3 2，BC 6，求O的半径求DE的长ACDEBC 4，【例23】如图，在ABCD中，过A、且与CD相切，假设OC三点的圆交AD于点E，BE 5，B、ABOC思维飞跃A 的一条弦，DB，过【例24】如图，O的直径AB为20cm，G是直径AB上一点，CD是过GCD 16cmEABA、B分别作AE CD于点E，BF CD于点F，求AE与BF的长度之差CE弧CD的中【例25】如图，P为O外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M，N分别是弧AB，点，连结MN交AB，CD与E，F求证：PEF为等腰三角形GABO【例26】如图，在半径为1的O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在EF上取点C，弦ACF 交BFD于P，弦CB交AE于Q，试证：四边形APQB的面积为1F【例27】如图，AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD过点D作DE CAB于点E，P连结AC与DE交于点P，问EP与FD是否相等？证明你的结论EAOQM【例28】假设圆接四边形的对角线互相垂直，求证：1过对角线交点且平分一边的直线必垂直于这边的对边；2从外接圆圆心到一边的距离等于这边对边的一半EOPBD作业1.如图，AB是O的弦，OD AB，垂足为C，交O于点D，点E在O上B1假设AOD52，求DEB的度数；2假设OC 3，OA 5，求AB的长2.C如下图，AB为O的直径，CD是弦，且AB CD于点E连接AC、OC、BC 1求证：2假设EB 8cm，CD 24cm，求O的直径ACO BCD3.如图，弦CM AB，求证：1ABC接于O，CN是直径，F是弧AB的中点，CF平分NCM；2弧AN 弧BMC4.如图，AB是O的直径，且AB 10，弦MN的长为8，假设弦MN的两端在圆上滑动时，始终与h2，则h1h2等于()AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，OABA5B6C7D8N BFM5.如图，过O的直径AB上两点M，求证：1N，分别作弦CD，EF，假设CD EF，ACF弧BEC弧ADF；2AM BN6.如下列图所示，以RtABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OEAC交AB于E，求证：DE是O的切线；7.如图，MP切O于点M，直线OP交O于点A、B，弦AC MP，求证：MO BC8.：如图，在ABC中，AB AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE AC，1垂足为点E求证：1ABC是等边三角形；2AE CE39.如图，ABC是O的接三角形，O的直径BD交AC于E，AF BD于F，延长AF交BC于G，求证：AB2 BGBCA10.如图，延长O的半径OA到B，使得OA AB，DT是圆的一条切线，T是切点，C是B在DT上1的射影求证：ACB CAO3BFEOGCDDC11.如图，圆接ABC，ABAC，D为弧BAC的中点，求证：BD2TAD2 AB ACODABABC