单摆运动规律的研究报告.pdf
.单摆运动规律的研究单摆运动规律的研究摘要摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个根底问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进展了探究。首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进展推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进展了初步探究。然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为根底，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进展了探索。关键词关键词 简谐运动 角度阻尼运动 单摆运动目录目录一、问题的描述一、问题的描述二、二、模型假设模型假设三、模型建立及求解三、模型建立及求解 1 1 理想模式下单摆的数学模型理想模式下单摆的数学模型 1.1 1.1 小角度单摆运动模型小角度单摆运动模型 1.1.1 1.1.1 模型建立模型建立 1.1.2 1.1.2 模型求解模型求解 1.1.3 1.1.3 结果分析结果分析 1.2 1.2 大角度单摆运动模型大角度单摆运动模型 1.2.1 1.2.1 模型建立模型建立 1.2.2 1.2.2 模型求解模型求解 1.2.3 1.2.3 结果分析结果分析 2 2 现实模式下单摆的数学模型现实模式下单摆的数学模型 2.1 2.1 小、大阻尼单摆运动模型小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 2.1.1 模型建立模型建立 2.1.2 2.1.2 模型求解模型求解 2.1.3 2.1.3 结果分析结果分析四四 模型分析模型分析一一 问题的描述问题的描述根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进展分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。二二 模型假设模型假设1 悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；2.装置严格水平；3.无驱动力。三三 模型建立及求解模型建立及求解1 1 理想模式下单摆的数学模型理想模式下单摆的数学模型.图 1 简单单摆模型在 t 时刻，摆锤所受切向力 ft(t)是重力 mg 在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t)=mg sin(t)完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：a(t)=gsin(t)因此得到单摆的运动微分方程组：1.11.1 小角度单摆运动模型小角度单摆运动模型1.1.11.1.1 模型建立模型建立当摆角 很小时,sin，故方程 1 可简化为:1.1.21.1.2 模型求解模型求解利用 matlab 软件在0,5o分别作出方程1和方程2的解得图像小角度单摆摆动规律方程1的解，*方程2的解1.1.31.1.3 结果分析结果分析由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。1.21.2 大角度单摆运动模型大角度单摆运动模型1.2.11.2.1 模型建立模型建立当摆角很大时，方程 sin 不较小时.f0=2/sqrt(1-(sin(c(i1)/2)2*(sin(*)2)/pi;for i2=1:n*=*+h;f1=2/sqrt(1-(sin(c(i1)/2)2*(sin(*)2)/pi;s=s+(f0+f1)*h/2;f0=f1;enddisp(1/s)s1(i1)=s;s=0;endplot(c,s1)*label(theta0/rad)ylabel(T/T0)大摆角单摆的运动规律程序如下：%建立方程(1)Function*dot=per(t,*)*dot=-9.8*sin(*(2)*(1)%建立方程(2)Function*dot=per1(t,*)*dot=-9.8*(2)*(1)%利用 ode45 求解微分方程t0=0;tf=10;t,*=ode45(per,t0,t f,pi/2,0)t1,*1 =ode45(per1,t0,tf ,pi/2,0)plot(t,*(:,2),-)holdonplot(t1,*1(:,2),)1.2.31.2.3 结果分析结果分析如下图，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线说明：大摆角振动时,单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线(虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,别离越明显2 2 现实模式下单摆的数学模型现实模式下单摆的数学模型2.1.12.1.1 模型建立模型建立现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见,可设单摆在摆动中受到阻力 fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz=f(v)，fz(t)=kv(t)上式中，k0 为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力 ftfz 产生，根据牛顿第二运动定律，有因此得到修正后的单摆运动微分方程组2.1.22.1.2 模型求解模型求解据此编写仿真程序：.subplot(2,1,1)dt=0.0001;%仿真步进T=16;%仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;m=8;k=3;th0=1.5;%初始摆角设置,不能超过/2v0=0;%初始摆速设置v=zeros(size(t);%程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t)%仿真求解开场v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end%使用双坐标系统来作图 A*,B1,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),plot);set(B1,LineStyle,-);%设置图线型set(B2,LineStyle,:);set(get(A*(1),Ylabel),String,线速度v(t)m/s);%作标注set(get(A*(2),Ylabel),String,角位移th(t)/rad);*label(时间t/s);legend(B1,线速度v(t),2);legend(B2,角位移th(t),1);增大阻力系数 k=50 可以得大阻尼时单摆的运动情况2.1.32.1.3 结果分析结果分析小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停顿，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。四四.模型分析模型分析本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类似简谐运动。再以此为根底讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。.
