2021高考数学一轮复习课时作业55证明最值范围存在性问题理.pdf
.课时作业课时作业 5555证明、最值、范围、存在性问题证明、最值、范围、存在性问题 基础达标基础达标 12019全国卷已知曲线C：y错误错误!,D为直线y错误错误!上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.证明：直线AB过定点；若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积解析：设D错误错误!,A,则x错误错误!2y1.由yx,所以切线DA的斜率为x1,故错误错误!x1.整理得 2tx12y110.设B,同理可得 2tx22y210.故直线AB的方程为 2tx2y10.所以直线AB过定点错误错误!.由得直线AB的方程为ytx错误错误!.由错误错误!可得x2tx10.于是x1x22t,x1x21,y1y2t12t1.|AB|错误错误!|x1x2|错误错误!错误错误!2设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,由d1错误错误!,d2错误错误!.因此,四边形ADBE的面积S错误错误!|AB|错误错误!.设M为线段AB的中点,则M错误错误!.由于错误错误!错误错误!,而错误错误!,错误错误!与向量平行,所以tt0.解得t0 或t1.当t0 时,S3；当t1 时,S4错误错误!.因此,四边形ADBE的面积为 3 或 4错误错误!.22020XX 五校协作体联考在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M：错误错误!错误错误!1b0右焦点的直线xy错误错误!0 交M于A,B两点,且椭圆M的离心率为错误错误!.求椭圆M的方程；C,D为M上的两点,如四边形ABCD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值解析：易知椭圆M的右焦点为,则c错误错误!.离心率e错误错误!错误错误!错误错误!,则a错误错误!,故bac3.所以椭圆M的方程为错误错误!错误错误!1.由错误错误!解得错误错误!或错误错误!.222222222.因此|AB|错误错误!.由题意可设直线CD的方程为yxn错误错误!,C,D由错误错误!得 3x4nx2n60,所以x1x2错误错误!,x1x2错误错误!.又直线CD的斜率为 1,所以|CD|错误错误!|x2x1|错误错误!错误错误!.由已知得,四边形ACBD的面积S错误错误!|CD|AB|错误错误!错误错误!.当n0 时,S取得最大值,最大值为错误错误!.所以四边形ACBD面积的最大值为错误错误!.32020XXXX测试如图,在平面直角坐标系xOy中,点F错误错误!,直线l：x错误错误!,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.22求动点Q的轨迹C的方程；设圆M过A,且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,|TS|是否为定值？请说明理由解析：依题意知,R是线段FP的中点,且RQFP,RQ是线段FP的垂直平分线连接QF,点Q在线段FP的垂直平分线上,|PQ|QF|.又PQl,|PQ|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2x.|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M,点M到y轴的距离d|x0|x0,圆的半径r|MA|错误错误!,则|TS|2错误错误!2错误错误!,点M在曲线C上,x0错误错误!,|TS|2错误错误!2,是定值42020XXXX 八中模拟已知过点P的圆M的圆心在x轴的非负半轴上,且圆2M截直线xy20 所得弦长为 2错误错误!.求圆M的标准方程；若过点Q的直线l交圆M于A,B两点,求当PAB的面积最大时直线l的方程解析：设圆M的方程为 yr,则圆心M到直线xy20 的距离等于错误错误!.由题意得错误错误!得错误错误!所以圆M的方程为xy4.22222.由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykx1,则圆心M到直线l的距离等于错误错误!,所以|AB|2错误错误!.又点P到直线l的距离d错误错误!,所以SPAB错误错误!|AB|d3错误错误!3错误错误!.因为k0,所以当k0 时,PAB的面积取得最大值,且max3错误错误!.此时直线l的方程为y10.52019XXXX 二检已知抛物线C1：x2py0和圆C2：y2,倾斜角为45的直线l1过C1的焦点,且l1与C2相切求p的值；动点M在C1的准线上,动点A在C1上,若C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设错误错误!错误错误!错误错误!,求证：点N在定直线上,并求该定直线的方程解析：依题意,设直线l1的方程为yx错误错误!,因为直线l1与圆C2相切,所以圆心C2到直线l1：yx错误错误!的距离d错误错误!错误错误!,即错误错误!错误错误!,解得p6 或p2所以p6.解法一依题意设M,由知抛物线C1的方程为x12y,所以y错误错误!,所以y错误错误!,设A,则以A为切点的切线l2的斜率为k错误错误!,所以切线l2的方程为y错误错误!x1y1.令x0,则y错误错误!x错误错误!y1错误错误!12y1y1y1,即B点的坐标为所以错误错误!,错误错误!,所以错误错误!错误错误!错误错误!,所以错误错误!错误错误!错误错误!,其中O为坐标原点设N点坐标为,则y3,所以点N在定直线y3 上解法二设M,由知抛物线C1的方程为x12y,设直线l2的斜率为k,A错误错误!,则以A为切点的切线l2的方程为yk错误错误!x错误错误!.联立得,错误错误!消去y,得x12kx12kx1x错误错误!0.因为144k48kx14x错误错误!0,所以k错误错误!,.222.所以切线l2的方程为y错误错误!x1错误错误!x错误错误!.令x0,得B点坐标为错误错误!,所以错误错误!错误错误!,错误错误!错误错误!,所以错误错误!错误错误!错误错误!,所以错误错误!错误错误!错误错误!,其中O为坐标原点,设N点坐标为,则y3,所以点N在定直线y3 上6 2020XX 湘东六校联考已知椭圆C：错误错误!错误错误!1b0的离心率e错误错误!,点A,B,F分别为椭圆C的上顶点和左焦点,且|BF|BA|2错误错误!.求椭圆C的方程若过定点M的直线l与椭圆C交于G,H两点,设直线l的斜率k0,在x轴上是否存在点P,使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在,求出m的取值范围；如果不存在,请说明理由解析：由离心率e错误错误!得a2c由|BF|BA|2错误错误!,得a错误错误!2错误错误!,ab2错误错误!.又abc,由可得a4,b3,椭圆C的方程为错误错误!错误错误!1.设直线l的方程为ykx20,由错误错误!得x16kx40,易得0,k错误错误!.设G,H,则x1x2错误错误!,错误错误!错误错误!x1x22m,k4,错误错误!x2x1,k菱形的对角线互相垂直,错误错误!0,4k2m0,得m错误错误!,即m错误错误!,k错误错误!,错误错误!m0存在满足条件的实数m,m的取值范围为错误错误!.22222222 能力挑战能力挑战 7 2019全国卷已知点A,B,动点M满足直线AM与BM的斜率之积为错误错误!.记M的轨迹为曲线C.求C的方程,并说明C是什么曲线；过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解析：由题设得错误错误!错误错误!错误错误!,化简得错误错误!错误错误!1,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点设直线PQ的斜率为k,则其方程为ykx0由错误错误!得x错误错误!.记u错误错误!,则P,Q,E于是直线QG的斜率为错误错误!,方程为y错误错误!由错误错误!得x2ukxk u80.设G,则u和xG是方程的解,故xG错误错误!,由此得yG错误错误!.从而直线PG的斜率为错误错误!错误错误!.所以PQPG,即PQG是直角三角形由得|PQ|2u错误错误!,|PG|错误错误!,所以PQG的面积S错误错误!|PQ|PG|错误错误!错误错误!.设tk错误错误!,则由k0 得t2,当且仅当k1 时取等号因为S错误错误!在2,单调递减,所以当t2,即k1 时,S取得最大值,最大值为错误错误!.因此,PQG面积的最大值为错误错误!.22222.
