一道高考题的推广.pdf

一一道道高高考考题题的的推推广广225500江苏省姜堰市外国语学校申后坤袁青20042004 年高考北京卷数学（理科）年高考北京卷数学（理科）1717 题：题：过抛物线y2 2px(p 0)上一定点P(x0,y0)(y0 0)作两条直线分别交抛物线于 A(x1,y1)，B(x2,y2)，p的点到焦点 F 的距离;2y y2（）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求1的值，并证明直线 AB 斜率y0（）求该抛物线上纵坐标为是非零常数.pp5p时，x，所求距离为2882,2pt2)（）设P(2pt02,2pt0)(t0 0)，A(2pt12,2pt1)，B(2pt2111则kPA，kPB，kABt0t1t0t2t1t2解：（）当y PA、PB 倾斜角互补kPA kPB 0t1 t2 2t0推广 1：过抛物线y2 2px(p 0)上一定点P(x0,y0)(y0 0)，作两直线分别交抛物线于 A、B 两点，当直线 PA、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则kAB py0 x2y2推广 2：过椭圆221(a b 0)上一定点P(x0,y0)(y0 0)作两直线分别交椭圆于abb2x0A、B 两点，当直线 PA、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则kAB2a y0证明：设P(acos,bsin)(k,k Z)，A(acos,bsin)，B(acos,bsin)x2y2推广 3：过双曲线221(a 0,b 0)上一定点P(x0,y0)(y0 0)作两直线分别交双abb2x0曲线于 A、B 两点，当直线 PA、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则kAB 2a y0仿推广 2 的证明，即可证得.推广 4：过不在抛物线y2 2px(p 0)上的一定点P(x0,y0)，作两直线分别交抛物线于 A、B、C、D 四点，当直线 AB、CD 的斜率存在且倾斜角互补时，则 A、B、C、D 四点共圆。x x0tcos证明：设直线 AB 的倾斜角为(0),则直线 AB 的方程为:（t为参数）y y tsin0代入抛物线得：(y0 tsin)2 2p(x0 tcos)2y0 2px0则t1t2sin222|y02px0|y02px0|同理|PC|PD|22sin()sinA、B、C、D 四点共圆推广4：过不在二次曲线：Ax2Cy2 Dx Ey F 0(A2C2 0)上的一定点P作两直线分别交二次曲线于 M、N、P、Q 四点，当两直线 MN、PQ 的倾斜角互补时，则 M、N、P、Q 四点共圆。仿照推广 3 的证明，即可证得.推广 5：过不在抛物线y2 2px(p 0)上的一定点P(x0,y0)作两条直线分别交抛物线于 A、B、C、D 四点，当直线 AB、CD 倾斜角互补时，则直线 AC 与 BD；直线 AD 与 BC的倾斜角也互补.222,2pt3)，D(2pt4,2pt2)，C(2pt3,2pt4)证明：设A(2pt12,2pt1)，B(2pt2kABkAB11直线 AB 与 CD 的倾斜角互补，kCDt3t4t1t211 kCD 0即t1 t2 t3 t4 0又kAC,kBDt2t4t1t3kAC kBD 0因而直线 AC、BD 倾斜角互补同理：直线 AD、BC 的倾斜角也互补.推广5：过不在二次曲线：Ax2Cy2 Dx Ey F 0(A2C2 0)上的一定点 P 作两直线分别交二次曲线于 M、N、P、Q 四点，当直线 MN、PQ 的倾斜角互补时，则直线MP 与 NQ、直线 MQ 与 NP 的倾斜角互补仿照推广 5 的证明，即可证得