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浅析初中数学模型思想溧水区第二初级中学孙海燕摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。本文就以近 3 年南京市中考题出发，举例说明模型思想的广泛应用。关键词：模型思想、中考题、应用数学课程标准（2011 年版）要求：在数学课程中，应当注重发展学生的模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。什么是数学模型？根据徐利治先生在 数学方法论选讲 一书中所谈到，所谓“数学模型”是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。所谓数学模型方法，就是把所考察的实际问题转化为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决。简单的说，数学模型方法就是通过构造数学模型来研究原问题的一种数学方法。其框图表示如下：数学抽象现实原型数学模型数学方法实际解释现实问题的答案数学解答中学数学中常用的数学模型具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不等式模型和统计模型等等，这些模型是解决数学问题和实际问题的有用工具。同时数学模型也是解决各个领域中科技问题的有用工具，在经济、军事以及各个领域中模型思想都有着广泛的应用。本文就以近 3 年南京市中考题出发，举例加以说明：一、方程模型方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定适当的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否符合实际问题的意义。例 1（2012 南京 25 题）.某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车。在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为 27 万元；每多售出 1 部，所有售出的汽车的进价均降低 0.1 万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10 部以内（含 10部），每部返利 0.5 万元；销售量在 10 部以上，每部返利 1 万元.（1）若该公司当月售出 3 部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28 万元/部，该公司计划当月盈利12 万元，那么需要售出多少部汽车（盈利=销售利润+返利）？【分析】：（1）根据若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为 27 万元，每多售出 1 部，所有售出的汽车的进价均降低 0.1 万元/部，得出该公司当月售出3 部汽车时，则每部汽车的进价为：270.12，即可得出答案；（2）设需要售出 x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28270.1（x1）=（0.1x+0.9）（万元），当 0 x10，根据题意，得 x（0.1x+0.9）+0.5x=12，当 x10 时，根据题意，得 x（0.1x+0.9）+x=12，至此，销售问题已转化为数学问题，下面解这个数学题。本题是一元二次方程模型在销售问题中的应用。解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论。利用方程求出解，检验结果是否符合实际问题的意义，从而找到问题的答案。二、函数模型新课标提出，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系变化，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能用一次函数，二次函数等来解决简单的实际问题。在学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生的头脑中已经有了这些函数的模型。因此，一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决。例 2(2011 江苏南京 22)、小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合 已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的 2 倍，小颖在小亮出发后 50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min设小亮出发 x min 后行走的路程为 y m图中的折线表示小亮在整个行走过程中 y 与 x 的函数关系小亮行走的总路程是_，他途中休息了_min当 50 x80 时，求 y 与 x 的函数关系式；当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？y/my/m3600360019501950O O【分析】：由图形可知：在三个时间段，小亮所行走的路程 y m 是他出发 x min的一次函数。因此设 y 与 x 的函数关系式为y kxb，则将实际的登山问题转(第 22 题)303050508080 x/minx/min化为一次函数问题。本题是一次函数在行程问题中的应用，在生活中一次函数的应用非常广泛，除了行程问题，还有例如：工程问题、销售问题、水电费问题、乘出租车问题、车站客流量问题等等。根据题意以及图像建立一次函数模型，可解答此类问题。三、三角与几何模型诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。例 3（2013 南京 22）、已知不等臂跷跷板AB 长 4m。如图，当AB 的一端碰到地面时，AB 与地面的夹角为；如图，当 AB 的另一端 B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为。求跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH。(用含、的式子表示)ABOOABHH【分析】：要用含、的式子表示 OH，则应建立三角函数模型，由题意得OH=OA sin，OH=OB sin。这样就将跷跷板问题转化为数学问题。本题一改往日用三角函数求值的套路，换而应用符号意识，如果不能正确对应数学模型，本题的解答将会无法顺利完成。四、不等式模型现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。例 4（2013 南京 23）、某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。300400400500500600600700700900消费金额(元)返还金额(元)3060100130150注：300400 表示消费金额大于 300 元且小于或等于 400 元，其它类同。根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价 为400元 的 商 品，则 消 费 金 额 为320元，获 得 的 优 惠 额 为400(180%)30=110(元)。(1)购买一件标价为 1000 元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过 800 元的商品，要使获得的优惠额不少于 226元，那么该商品的标价至少为多少元？【分析】：设该商品的标价为 x 元。根据诸如“不少于”、“至少”等关键词，建立不等式模型，从而将生活中的问题转化为数学问题。本题应用一元一次不等式模型解决实际问题。不等式模型的应用题一般会有诸如：至少、最多、不超过等关键词。根据题中的不等关系列出不等式是解决此类问题的关键。五、统计模型在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛。而数学建模思想的应用在统计学方面的研究得到很好的体现。如新课标明确提出：体会用样本估计总体的思想。例 5（2012南京 20 题）、某中学七年级学生共 450 人，其中男生 250 人，女生 200 人该校对七年级所有学生进行了一次体育测试，并随机抽取了 50 名男生和 40 名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：成绩划记频数百分比不及格910%及格1820%良好3640%优秀2730%合计9090100%（1）请解释“随即抽取了 50 名男生和 40 名女生”的合理性；（2）从上表的“频数”，“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）估计该校七年级体育测试成绩不及格的人数【分析】：（1）所抽取男生和女生的数量应该按照比例进行，这样更能体现抽样调查的可靠性；（2）可选择扇形统计图，表示出各种情况的百分比；或选择条形统计图，表示出各种情况的具体数值；（3）用样本估计总体，根据频数=总数频率即可得出答案本题在抽样调查可靠的前提下，利用适当的统计图来分析数据，从而对总体情况进行估计。本题充分展示了统计的实用价值，让学生感受数学在生活中的应用，加强了学生用数学的意识。由上述例题可见，在中学数学中数学模型方法的应用，一方面会大大提高学生分析问题的能力和用数学工具解决实际问题的能力，另一方面对提高学生学习数学的兴趣和应用意识也有很大程度的帮助。因此，学习并应用模型思想，这对提高数学素养、培养能力是必不可少的基本训练。参考文献：1、教育部制订.数学课程标准（2011 年版）北京师范大学出版社,2012.032、数学史与数学方法论成都科技大学出版社，1996.093、天利 38 套2011-2013全国中考试题精选西藏人民出版社，