浅析无理型函数值域的几种常规求法.pdf
浅析无理型函数值域的几种常规求法浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法：观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。例 1求函数 y3x24值域。解：x242，函数值域为5，+)。二、二、单调性法：单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。例2求函数 yx12x的值域。解：函数的定义域为(,，函数 y=x 和函数 y1 2x在(,上均为单调递1212增函数，故 y111 12，2221。2因此，函数 yx1 2x的值域是(-，三、三、换元法：换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。例 3求函数 yx+1 2x的值域。1t21解：定义域为 x(,，令 t1 2x(t0)，则 x22于是 y1(t1)21，由 t0 知函数的值域为2，。本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的 X 围。对于形如“y”的函数,此法适用于根号内外自变量的次数相同的无 mx n ax bx b，将原函数转化为 t 的二次函数，当然也适用于理函数，一般令t a“y”的函数。mx nax b22例 4.求函数y 2x 313 4x的值域。3 4x13 t)，则y 解：令t 1，则t 且x(02141271t t(t 1)2222，即x时，y，当t 时，y 。故函数值域为(，4。4。当t 1 34max另外对于根号下的是 2 次的，我们同样可以处理：例 5求函数 yx+1 x2的值域。解：1x20，1x1，设 xcos，0，则 ycos+sin2sin（+0，+2sin（+），425，sin（+），1，24444）1，2，函数 yx+1 x2的值域为1，2。4其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：例 6.求函数y的值域。8 x3x 63x 6 0解：由，得。2 x 88 x 0 10sin 2令x且0,22，则y 10cos30sin 2 10sin(由6)。21，得，sin()166326则1，故函数的值域为 1。0 y 21 00，2 10对于形如“y”的函数,此法适用于两根号内自变量 m ax bn cx d(ac 0)，x都是一次，且a，此时函数的定义域 为闭区间，如xc 012，则可 作代换20，即可化为y，且型的函数。x (x x)sin x Asin()2112四、配方法：通过平方或换元化为形如 y=ax2+bx+c(a0)的函数，借助配方法求函数的值域，要注意 x 的取值 X 围。例 7求函数 yx 1 x的值域。解：1x0，且 x0，0 x1，又 y0，y2x+1x+2 x2 x1+2 x2 x令 tx2+x（x2，函数 yx 1 x的值域为1，2。五、数形结合法：五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的 X 围问题。例 8求函数 f(x)x22x5x22x2的值域。12111）+，0 x1，0t，0t，y21，2442222222(x 1)2(x 1)1x 2x5x 2x2解：f(x)f(x)表示动点 P(x，0)到点 A(1，2)与点 B(1，1)的距离之差，求 f(x)的值域就转化为求P(x，0)到点 A(1，2)与点 B(1，1)的距离之差的 X 围问题（如图），|PA|PB|AB|(当且仅当 P、A、B 共线时取等号)，|PA|PB|1，即 f(x)1，f(x)x22x5x22x2的值域是(0,1。高中数学无理函数值域的常见求法高中数学无理函数值域的常见求法一、形如“y”的函数 mx n ax b例 1.求函数y 2x 313 4x的值域。3 4x13 t)，则y 解：令t 1，则t 且x(02141271t t(t 1)2222，即x时，y，当t 时，y 。故函数值域为(，4。4。当t 41 3max说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t a，将原函数x b转化为 t 的二次函数，当然也适用于“y”的函数。mx nax b22二、形如“y”的函数 mx n ax bx c(a 0，b 4ac 0)22例 2.求函数y的值域。x 2 x10 x 232解：由，2。令x 2 sin5且x 10 x 230，得52 x 5222，则y。2 sin 7 2 cos 2sin()7，得4由43442。sin()124当s时，y；in()19max4当sin()42时，y。7 2min2故函数值域为7 2，9。说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又a且的 0 0函数定义域一定为闭区间，如x，则可作三角代换为x，x12x2 x1且即可化为yk 型函数。至于a且及 0，0 Asin()222xx21sin2其他类型，可自己分析一下。三、形如“y”的函数 m ax bn cx d(ac 0)例 3.求函数y的值域。8 x3x 63x 6 02 x 8解：由，得。8 x 0 10sin 2令x且0,22，则y 10cos30sin 2 10sin(由6)。21，得 sin()166326则1，故函数的值域为 1。0 y 21 00，2 10说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且a，此时函数的定义域为闭区间，如c 02，且x，x0，即 可 化 为(x x)sin x12，则 可 作 代 换x211y Asin()型的函数。2
