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课本一道习题的精彩闪光课本一道习题的精彩闪光山东省临沂第四中学张瑞华郑琨(邮编：2600）人教版普通高中课程标准实验教科书数学选修 21 第 1页第 2 题为:下列“若p，则q”形式的命题中,哪些命题中的 p 是的充分条件?(1）若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行；(2）若 x5，则1.笔者在讲述第(1)小题时出现了很多思维的火花,同学们争论的非常激烈，虽然耽误了一些时间，但是课堂效果非常好,不管是对本节内容的掌握，还是对后续学习思维严密性的训练,都起到了非常好的作用。下面是本节课实录的一部分,不当之处敬请批评指正!学生：命题 1 是假命题，因为两直线还有重合的情况,所以 p 不是的充分条件。学生 2：命题是真命题,条件中的两直线就指两条不重合的直线，所以 p是 q 的充分条件。教师:数学必修 2 第 86 页注解中这样说:“我们约定：若没有特别说明,说 两条直线时，一般指两条不重合的直线。”所以学生 2 的回答是正确的。那么 p是的必要条件吗?(我在讲课时总是注意一些题目的变式训练。）学生 3:命题 1 的逆命题为:若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等。它是真命题，所以 p 是 q 的必要条件。学生 4:逆命题应该是假命题，因为两条直线平行,还有一种情况是斜率不存在，不能说它们相等,所以不是 q 的必要条件。(我期待着学生 4 的回答，但让我意想不到的是另一名学生还举手示意有问题要说。）学生 5:命题 1 的否命题为：若两条直线斜率不相等,则这两条直线不平行。它为真命题,又因为逆命题和否命题真假性相同，所以逆命题也应该是真命题,从而 p 是的必要条件。教师:学生 4 和学生 5 得到了相反的结论,应该有一个是错误的，我也是第一次遇到这个问题,同学们能积极思考是非常好的，应该鼓励。让我们共同思考两位同学的回答，看看哪一个有问题？(同学们先是沉思，然后又讨论。）学生 6：学生5 的回答中已经承认斜率存在，而学生没想到的恰恰是斜率不存在的情况，逆命题应该是：若斜率存在的两条直线平行，则这两条直线的斜率相等。它应该是真命题，所以是 q 的必要条件。教师:学生 6 的回答把“斜率存在”作为总条件，这好像与原命题不一致,继续思考!学生：命题 1 的否命题应该是:若两条直线的斜率不相等或都不存在，则这两条直线不平行。它为假命题,所以学生 5 的回答是错误的，所以不是 q 的必要条件。教师:学生 7 的回答非常精彩,大部分同学豁然开朗，但是他的回答中还有一点小问题。请回忆命题 2“若 a、都是偶数,则 ab 是偶数”的否命题是什么？学生 8：命题的否命题是“若a、b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数”。否定应该是对立面的全部，所以命题 1 的否命题应该是：若两条直线的斜率不相等或至少有一条斜率不存在,则这两条直线不平行。它为假命题，所以 p 不是的必要条件。教师：学生 8 总结的很全面,今天这些成果都是你们自己总结出来的,一定要好好记住并且会用。为了巩固成果,我们一起再来做两个练习：1 是 ta=an 的什么条件?2tantn 是 的什么条件？学生 9：练习 1 中 是 ta=tan 的既不充分也不必要条件;练习 2 中ana 是 的充分不必要条件。教师:两个回答有矛盾吗？学生 10：两个同学的回答不矛盾，因为练习 1 中 tan=t 的否定为 tntn 或 tan、tan 至少有一个不存在,它们不互为逆否命题。（下课铃响了）教师:我们这节课虽然没有完成预定的任务，但我们共同探讨了一个结论的完善，数学就是这样发展起来的，希望同学们以后要多问、多思考、多讨论,这样才能创造我们更加美好的生活。由于这节课在这个问题上的探究，很多同学大有长进,在以后学习类似的新知识时大都做得很好。这里有两个例子:例 1.“过两平行线有且只有一个平面”的否定为“过某两条平行线没有或至少有两个平面”。例 2.“过空间内一点只能做一条直线与已知平面垂直”的否定是“在空间中存在一点，过这点不能作直线与已知平面垂直，或至少能作两条直线与已知平面垂直”。同学们在回答这两个问题时,基本上都答对了,这与前面那一节课有很大的关系。教师在教学过程中不要舍本逐末，而应就地取材,注重应用新课程的理念,对教材的例题和习题进行“再创造”,推陈出新,有效的帮助学生提高学习效率。通过课堂讨论,师生的多向交流，不断激活每位学生的“知识仓库”,培养了学生严谨治学的精神，有效地促进了学生创新意识的发展。