2020.8月福师离线 《数学建模》期末试卷A及答案.pdf
数学建模期末考试数学建模期末考试 A A 卷卷姓名：姓名：专业：专业：学号：学号：学习中心：学习中心：一、判断题（每题一、判断题（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1、模型具有可转移性。-（ ）2、一个原型， 为了不同的目的可以有多种不同的模型-（ ）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。-（ ）4、力学中把质量、 长度、 时间的量纲作为基本量纲。 - （ ）5、数学模型是原型的复制品。 -（ ）二、不定项选择题（每题二、不定项选择题（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1、下列说法正确的有AC。A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。B、模型误差是可以避免的。C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。2、建模能力包括ABCD。A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力三、用框图说明数学建模的过程。（三、用框图说明数学建模的过程。（1010 分）分）答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。（二）模型建立（二）模型建立现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A、B、C、D 处，A、B、C、D 的初始位置在与 x轴平行，再假设有一条在 x 轴上的线 ab,则 ab 也与 A、B，C、D平行。当方桌绕中心 0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为。四、建模题（每题四、建模题（每题 1515 分，共分，共 6060 分）分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4 条腿能否同时着地？解：解：4 条腿能同时着地（一）（一） 模型假设模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明， 结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f() 为 A、B 离地距离之和，g()为 C、D 离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设(1)，f(), g()均为 0 的连续函数叹由假设(3),三条腿总能同时着地，故 f() g()=0 必成立()。)。f(), g()均为 0 的连续函数。 又由假设(3),三条腿总能同时着地，故 f() g()=0 必成立(不妨设 f()=0, g()0 (若 g(0)也为 0,则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转)，于是问题归结为:已知 f(0), g()均为的连续函数，f(0)=0, g(0) 0 且对任意有 f() g()=0,求证存在某一0。，使 f() g()=0。（三）模型求解（三）模型求解证明:当日=时，AB 与 CD 互换位置，故 f()0, g()= 0 o作 h()= f()-g()，显然，h()也是的连续函数，h()= f()-g() 0， 由连续函数的取零值定理， 存在，0，使得 h()=0，即 h()= g()。又由于 f() g()=0,故必有 f()= g()=0,证毕。3、按照模型的应用领域分的模型有AE。A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是C。A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AB。A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性数学建模数学建模试卷 共 2 页（第 1 页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！2、建立模型说明同样多的面粉，多包几个饺子能多包馅，还是少包几个饺子能多包馅？解：解：在饺子皮相对与饺子馅比较薄的情况下,忽略饺子皮厚度对饺子体积的影响，每个饺子能包的馅 y=f(x)=kx1.5 其中 x 为每个饺子消耗面粉量,k 为常数。所以能包的馅总共有 My/x=Mkx0.5 其中 M 为总面粉量。显然这个函数在 0 到正无穷上是增函数,所以结论：饺子包越大相同面粉能包的馅越多，少包几个饺子能多包馅。3、投资生产 A 产品时，每生产一百吨需资金 200 万元，需场地200 平方米，可获利润 300 万元；投资生产 B 产品时，每生产一百吨需资金 300 万元，需场地 100 平方米，可获利润 200 万元，现某单位可使用资金 1400 万元、场地 900 平方米，问应做怎么样的组合投资，可使所获利润最多。解解: :设生产 A 产品 X 百吨,生产 B 产品 Y 百吨,则最大利润为Z,则有模型如下：Z=300X+200Y,由题得 X、Y 需要满足：200X+300Y1400200X+100Y900画 图 解 得X=3.25 ； Y=2.5时Z最 大 ， 且 此 时Z=300*3.25+200*2.5=1475得出，生产 A 产品 3.25 百吨，生产 B 产品 2.5 百吨时获利最大，最大利润为 1475 万元。4、在某 5000 个人中有 10 个人患有一种病，现要通过验血把这10 个病人查出来， 若采用逐个人化验的方法许化验 9999 次， （这里所需化验次数是指在最坏情况下化验次数，如果碰巧，可能首先化验的 10 个人全是病人，10 次化验就够了，下面讨论的化验次数均指在最坏情况下的化验次数）。为了减少化验次数，人们采用分组化验的办法，即把几个人的血样混在一起，先化验一次，若化验合格，则这几个人全部正常，若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对它们重新化验（逐个化验或再分组化验）。试给出一种分组化验的方法使其化验次数尽可能地小，不超过1000 次。解：解：解我们给出如下的方法:从 1000 人中任取 64 人，把他们的血样混合化验。一般地，n个人中有 k 个病人，令 s 使 2sn/k2s+1,则从 n 个人中任取 25个人一组，当 n=1000 , k=10 时，25=64若这 64 人混合血样合格(化验是阴性) ,则这 64 个人正常，可排除，无需再化验，再从剩下未化验的人中任取 64 个人，混合血样化验。若这 64 人混合血样不合格(化验呈阳性)，说明这 64 人中有病人。把这 64 个人，分为两组，每组 32 人。任取一组的混合血化验，即可确定有病人的一组。(即只需化验-次，若化验的这组血样成阴性，则病人在另- -组。若化验的这组血样成阳性，这组有病人，但此时，另-组也可能有病人)。作为最坏的可能情形，我们无法保证另-组的 32 人中没有病人，故选定有病。人的一组后，把另一组人退回到未化验的人群中去。把有病人的这组 32 人，再分为两组，每组 16 人，重复上述过程。即化验- -次，确定有病人的一组，把另一组退回到未化验的人群中。依次下去，直到找到一个病人为止。至此一-共化验了 7 次。再从未化验的人中任取 64 人重复上述过程。总之，对每次 64 人混合血化验成阳性的，通过 7 次化验可找到 1 个病人，由于共有10 个病人，因此，这样的情形，化验次数不超过 7X10=70 次。对每次 64 人混合血化验成阴性的，由于1000=15X64+40，化验次数不超过 15 次。故总的化验次数不超过 70+15=85 次。数学建模数学建模试卷 共 2 页（第 2 页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！
