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第2章 数字逻辑基础 第2章 数字逻辑基础 2.1 数制和码数制和码 2.2 逻辑代数基础逻辑代数基础 习题习题 第2章 数字逻辑基础 学完本章要掌握l常用数制（十进制、二进制、十六进制、八进制）及不同数制的数的相互转换；常用的二-十进制码l逻辑代数的基本概念、公式、定理及应用l逻辑函数的表示方法（真值表、函数表达式、逻辑图、卡诺图、波形图）及其相互转换l逻辑函数的公式化简和卡诺图化简。第2章 数字逻辑基础 1.1 数数 制制 和和 码码-常用数制常用数制l数制是计数进位制的简称数制是计数进位制的简称l在日常生活和生产中，人们习惯用十进在日常生活和生产中，人们习惯用十进制数制数.l而在数字电路和计算机中，而在数字电路和计算机中，只能识别只能识别“0”“0”和和“1”“1”构成的数码，所以经常采构成的数码，所以经常采用的是用的是:l二进制数二进制数l十六进制数十六进制数l八进制数。八进制数。第2章 数字逻辑基础 十进制（十进制（Decimal）l有有09共共10个数码个数码l计数计数“基数基数”为为10l数的组成自左向右由高位到低位排列数的组成自左向右由高位到低位排列l计数时，计数时，“逢十进一，逢十进一，借一当十借一当十”l数码在不同的位置代表的数值不同，相应位的数数码在不同的位置代表的数值不同，相应位的数码码 所代表的实际数值称之为所代表的实际数值称之为“位权位权”或简称为或简称为“权权”,位数越高，权值越重位数越高，权值越重,左边位的权是右边位左边位的权是右边位的权的的权的10倍倍（个位权（个位权100，十位，十位101，百位，百位102）l十进制数十进制数616可表示为可表示为 616=610211016100第2章 数字逻辑基础 对于任意一个十进制数，都可以表示成对于任意一个十进制数，都可以表示成式中中，Ki为为十十进进制制数数第第i位位的的数数码码，n表表示示整整数数部部分分的的位位数数，m表表示示小小数数部部分分的的位位数数，n、m都都是是正正整数，整数，10i为第为第i位的位权值。位的位权值。（个位的权（个位的权100）例如，十进制数例如，十进制数54.214可表示为可表示为 54.214=51054.214=5101 14104100 0210210-1-1110110-2-2410410-3 第2章 数字逻辑基础 二进制（二进制（Binary）l数码：数码：0 0和和1 1l组成：组成：自左向右由高到低位排列自左向右由高到低位排列l计数基数：计数基数：2 2l位权值：位权值：2 2的幂的幂l计数规律：计数规律：“逢二进一，逢二进一，借一当二借一当二”第2章 数字逻辑基础 对于任意一个二进制数，都可以表示为对于任意一个二进制数，都可以表示为式式中中，Ki为为二二进进制制第第i位位的的数数码码，2i为为第第i位位的的位位权权值值，n表表示示整整数数部部分分的的位位数数，m表表示示小小数数部部分分的的位位数数，n、m均为正整数。均为正整数。例如，例如，二进制数二进制数1101.101可以展开成可以展开成（1101.1011101.101）2 2=12=123 3+12+122 202021 112120 01212-1-102-212-3 第2章 数字逻辑基础 十六进制（十六进制（Hexadecimal）l数码：数码：0 09 9，A A、B B、C C、D D、E E、F Fl组成：组成：自左向右由高位向低位排列自左向右由高位向低位排列l计数基数：计数基数：16 16l计数规律：计数规律：“逢十六进一，借一当逢十六进一，借一当十六十六”l位权值：位权值：16 16的幂的幂第2章 数字逻辑基础 十十六六进进制制数数比比二二进进制制数数位位数数少少，便便于于书书写写和和记记忆忆，因因此此在在计计算算机机中中经经常常使使用用。任意十六进制数可表示为：任意十六进制数可表示为：第2章 数字逻辑基础 式式中中，K Ki i为为十十六六进进制制数数第第i i位位的的数数码码，1616i i为为第第i i位位的的位位权权值值，n n、m m的的含含义义与与式式（1-1-1 1）和和式式（1-21-2）中中含含义义相相同同。例例如如，十十六六进制数进制数5A.B45A.B4可表示可表示为 (5A.B4 (5A.B4）1616=516=5161 1101610160 0 1116 1116-1-1416416-2第2章 数字逻辑基础 八进制数八进制数l8个数码：个数码：07l计数基数：计数基数：8l计数规律：计数规律：“逢八进一，逢八进一，借一当借一当八八”l位权值：位权值：8的幂的幂l位权展开式：同二、十、十六进位权展开式：同二、十、十六进制数制数第2章 数字逻辑基础 数数 制制 对对 照照 表表 第2章 数字逻辑基础 数制转换数制转换l二进制数转换成十进制数二进制数转换成十进制数按权相按权相加法加法l将二进制数按位权展开后相加，将二进制数按位权展开后相加，即得即得等值的十进制数。例如等值的十进制数。例如（101.101101.101）2 2 =12 =122 202021 112120 01212-1-1+0+02 2-2-2+12+12-3-3 4 40 01 10.50.50+0.1250+0.125 （5.625）10 第2章 数字逻辑基础 二进制数的位权值表二进制数的位权值表 -4 -3 -2-10123 4 56 7 8 9 100.06250.1250.250.512481632641282565121024第2章 数字逻辑基础 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数l整数部分：整数部分：“除除2取余取余”法法l纯小数部分纯小数部分“乘乘2取整取整”法法第2章 数字逻辑基础 例例：将将十十进进制制数数37.56237.562转转换换成成误误差差不不大大于于2 2-6-6的的二二进进制制数数，可可按按下下述述步步骤进行：骤进行：整数部分整数部分37用用“除除2取余取余”法：法：第2章 数字逻辑基础 例 2|371 K0=1 2|18.0 2|18.0K K1 1=0=0 2|9.1 2|9.1K K2 2=1=1 2|4.0 2|4.0K K3 3=0=0 2|2.0 2|2.0K K4 4=0=0 2|1.1K5=1 0 K6=0 第2章 数字逻辑基础 可得可得（37）10=（100101）2 小数部分小数部分0.562用用“乘乘2取整取整”法：法：0.5622=1.124 1 K-1=10.1242=0.248 0 K-2=00.2482=0.496 0 K-3=00.4962=0.992 0 K-4=00.9922=1.984 1 K-5=1 第2章 数字逻辑基础 最后余的小数最后余的小数0.9840.5，根据，根据“四舍五四舍五入入”原则，可得原则，可得K-6=1。因此。因此（0.562）10（0.100011）2 其误差其误差2-6。最后得到最后得到（37.562）10（100101.100011）2 第2章 数字逻辑基础 二进制数转换成十六、二进制数转换成十六、八进制数八进制数l十六进制的基数为十六进制的基数为 16，4位二进制数位二进制数就相当于就相当于 1位十六进制数位十六进制数l将二进制数转换成十六进制数将二进制数转换成十六进制数.l解解:先将其分组为（先将其分组为（0110 1001 1010.0100 1100）2，再将各组，再将各组4位二位二进制数转换为对应的十六进制数，进制数转换为对应的十六进制数，得得（0110 1001 1010.0100 1100)=(69A.4C）16 第2章 数字逻辑基础 八八进进制制的的基基数数为为8 82 23 3，3 3位位二二进进制制数数就就相相当当于于1 1位位八八进进制制数数。所所以以，二二进进制制数数转转换换成成八八进进制制数数的的方方法法是是将将二二进进制制数数按按3位分成一组转换成对应的八进制数即可。位分成一组转换成对应的八进制数即可。第2章 数字逻辑基础 4.4.十六、八进制数转换成二进制数十六、八进制数转换成二进制数 由由于于每每位位十十六六进进制制数数对对应应于于一一个个4 4位位二二进进制制数数，因因此此，任任意意十十六六进进制制数数均均可可由由各各位位变变成成4位位二二进进制制数数而而得得相相应应的的二二进进制制数数形形式式。例例如如，将将十十六六进进制制数数6E.5A3转换成二进制数，即转换成二进制数，即（6E.5A3）16=(0110 1110.0101 1010 0011）2同同样样，每每位位八八进进制制数数对对应应于于一一个个3 3位位二二进进制制数数，因因此此，任任意意八八进进制制数数均均可可由由各各位位变变成成3 3位位二二进进制制数数而而得得相相应应的的二二进进制制数数形形式式。例如，例如，将八进制数将八进制数52.4转换成二进制形式，转换成二进制形式，即即（52.4）8=(101 010.100）2 第2章 数字逻辑基础 5.5.十六、十六、八进制数转换成十进制数八进制数转换成十进制数 可可由由“按按权权相相加加”法法分分别别得得到到十十六六十十、八八十十的的转转换换。例例如如，把把十十六六进进制制数数5A.485A.48转转换换成成十十进进制制数数，即即（5A.485A.48）16165165161 1101610160 0416416-1-1816816-2-2 =80 =8010+0.2510+0.250.031 250.031 25 =（90.281 25）10 把八进制数把八进制数63.4转换成十进制数，转换成十进制数，即即（63.463.4）8 868681 138380 04848-1-1 48+348+30.50.5 （51.5）10第2章 数字逻辑基础 6.6.十进制数转换成十六、十进制数转换成十六、八进制数八进制数 十十进进制制数数转转换换成成十十六六进进制制数数的的方方法法：整整数数部部分分采采用用“除除1616取余取余”法，小数部分采用法，小数部分采用“乘乘1616取整取整”法法十十进进制制数数转转换换成成八八进进制制数数的的方方法法：整整数数部部分分采采用用“除除8 8取取余余”法，小数部分采用法，小数部分采用“乘乘8 8取整取整”法。法。也也可可以以先先将将十十进进制制数数转转换换成成二二进进制制数数，再再由由二二进进制制数数转转换成十六或八进制数。换成十六或八进制数。例如例如（42.25）10（101010.01）2（2A.4）16（52.2）8 第2章 数字逻辑基础 二进制数的算术运算二进制数的算术运算l1.四则运算四则运算l在二进制数运算中，进位时在二进制数运算中，进位时“逢二逢二进一进一”，借位时，借位时“借一当二借一当二”。第2章 数字逻辑基础 二二进进制制数数有有下下列列基基本本数数值值运运算算关系式关系式0+0=0 00=00+0=0 00=00+1=1 01=00+1=1 01=01+1=10 11=1 第2章 数字逻辑基础 下面举例说明二进制加、下面举例说明二进制加、减运算。减运算。加法加法 减法减法 1101 11011101 1101+0011 -0011 10000 1010 在在数数字字系系统统（如如计计算算机机）中中乘乘法法运运算算一一般般用用加加法法运运算算做做，即即被被乘乘数数自自身身连连续续相相加加，相相加加的的个个数数等等于于乘乘数数；除除法法运运算算可可用用减减法法运运算算来来做做，即即从从被被除除数数中中不不断断减减去去除除数数，所所减减的的次次数数就就是是商商，剩剩下下不不够够减减的的部部分分就就是是余余数数。若若能能把把减减法法也也变变为为加加法法，运运算算形形式式就就单单一化了。数字系统中正是这样做的。一化了。数字系统中正是这样做的。第2章 数字逻辑基础 2.减法的补码运算减法的补码运算如如何何实实现现减减法法变变加加法法呢呢？以以时时钟钟为为例例，把把时时针针从从8拨拨到到5，既既可可以以逆逆时时针针后后拨拨（减减法法）3小小时时，也也可可以以顺顺时时针针前前拨拨（加加法法）9小小时时。因因为为表表盘盘的的最最大大读读数数为为 12，任任一一读读数数加加 12后后仍仍为为原原值值，即即:8-3=5 89=12+5第2章 数字逻辑基础 减法的补码运算减法的补码运算l这里，称这里，称12为模，为模，-3叫原码，叫原码，9是是-3的的补码。这个例子表明，补码。这个例子表明，运用补码运算运用补码运算可以把减法运算变成加法运算，在运可以把减法运算变成加法运算，在运算时须把参与运算的数变为补码形式，算时须把参与运算的数变为补码形式，然后相加，其和也为补码形式。然后相加，其和也为补码形式。l例如例如4位二进制数，其模为（位二进制数，其模为（10000）2，其最高位，其最高位1不可能在电路中表示出来，不可能在电路中表示出来，而低而低4位全是位全是0，所以任何，所以任何4位二进制数位二进制数加其模数仍为原加其模数仍为原4位二进制数。位二进制数。第2章 数字逻辑基础 3.补码运算的基本步骤补码运算的基本步骤（1）找到运算的模数找到运算的模数 n位二进制数的运算模数为位二进制数的运算模数为2的的n次方次方。因因为为数数字字系系统统中中一一个个实实际际加加法法器器电电路路的的位位数数n总总是是确确定定的的，运运算算中中若若出出现现向向最最高高位位以以上的进位必然被舍去（称为溢出）。上的进位必然被舍去（称为溢出）。()运算数变为补码形式运算数变为补码形式 ()运算时符号位和数值位一起参加运算运算时符号位和数值位一起参加运算第2章 数字逻辑基础 二进制数的补码：二进制数的补码：l最高位为符号位，正数为最高位为符号位，正数为0，负数为，负数为1；l正数的补码和它原码相同（正数加模不正数的补码和它原码相同（正数加模不变变)；l负数的补码将负数的补码将其原码逐位求反其原码逐位求反得到其反得到其反码，码，然后在最低位加然后在最低位加1求得（由负数加模求得（由负数加模可得）。可得）。l补码运算后的和数仍是补码形式，补码运算后的和数仍是补码形式，若结若结果是正数果是正数，和数的大小直接表示和数的，和数的大小直接表示和数的值；值；若和数是负数若和数是负数，必须对和数求一次，必须对和数求一次补码才能得到该负数的值。补码才能得到该负数的值。第2章 数字逻辑基础 运算结果运算结果l如何判断运算的结果（补码）是正数还是如何判断运算的结果（补码）是正数还是负数呢？可以从补码的最高位看出，当最负数呢？可以从补码的最高位看出，当最高位为高位为“0”时，表示是一个正数的补码，时，表示是一个正数的补码，也就是该正数原码，当最高位为也就是该正数原码，当最高位为“1”时，时，表示是一个负数的补码。也就是说，带符表示是一个负数的补码。也就是说，带符号数的补码的最高位也是符号位。号数的补码的最高位也是符号位。l需要说明的是，需要说明的是，若符号位不参加运算若符号位不参加运算，则，则补码求和后当最高位为补码求和后当最高位为“1”时，表示是一时，表示是一个正数的补码，也就是该正数原码，当最个正数的补码，也就是该正数原码，当最高位为高位为“0”时，表示是一个负数的补码。时，表示是一个负数的补码。第2章 数字逻辑基础【例】【例】设设A A1 1=0111=0111，A A2 2=0011=0011，试求，试求:（1 1）A A1 1A A2 2；（2 2）A A2 2A A1 1。解解（1 1）A A1 1-A A2 2（01110111）2 2（00110011）2 2 （0 01110 0111）2 2（1 11001 1100）2 2+（00010001）2 2 （00100）2 最高位为最高位为0，所以其差值是一个正数，所以其差值是一个正数，差值为（差值为（0100）2=（4）10。第2章 数字逻辑基础（2）A2A1（0011）2（0111）2 （0 0011）2（1 1000）2+（0001）2 （1 1100）2 最高位为最高位为1，所以其差值是一个负数，所以其差值是一个负数，需再求一次补需再求一次补码才能变为原码：码才能变为原码：（1100）2补补（0011）2（0001）2=（0100）2 因此差值为因此差值为（0100）2=（4）10。第2章 数字逻辑基础 常用二常用二十进制码与十进制码与ASCII码码1.常用二常用二十进制码十进制码l用用4位二进制数码表示位二进制数码表示1位十进制数，简称位十进制数，简称二二十进制码，又叫十进制码，又叫BCD码。码。l常用的常用的BCD码分有权码和无权码两类。有码分有权码和无权码两类。有权码用代码的位权值命名。权码用代码的位权值命名。如如8421码自左码自左至右的位权值为至右的位权值为8、4、2、1；2421码的位码的位权值则为权值则为2、4、2、1。它们均可按位权展。它们均可按位权展开式求得所代表的十进制数。开式求得所代表的十进制数。l8421码是最为常用的，应予牢记码是最为常用的，应予牢记第2章 数字逻辑基础 无权码无权码l无权码每位无确定的位权值，不能无权码每位无确定的位权值，不能使用位权展开式，使用位权展开式，但各有其特点和但各有其特点和用途。用途。l 例如格雷码（又叫循环码、例如格雷码（又叫循环码、反射码）反射码），其相邻两个编码只有一位码状态，其相邻两个编码只有一位码状态不同，不同，在后面将会用到它的这一特在后面将会用到它的这一特点来进行逻辑函数的图形法化简。点来进行逻辑函数的图形法化简。第2章 数字逻辑基础 常常 用用 BCD 码表码表第2章 数字逻辑基础 奇偶校验码奇偶校验码功功能能：能能检检验验二二进进制制信信息息在在传传送送过过程程中中出出现现错误错误组组成成：信信息息位位（需需要要传传送送的的信信息息）和和奇奇偶偶校校验位。验位。特特点点：代代码码中中1的的个个数数按按预预先先的的规规定定为为奇奇数数或或偶数偶数 1的总个数为奇数时称为奇校验，的总个数为奇数时称为奇校验，1的总个数为偶数时称为偶校验。的总个数为偶数时称为偶校验。一一旦旦某某一一代代码码在在传传送送过过程程中中出出现现1的的个个数数不是奇（偶）数个时，不是奇（偶）数个时，就会被发现。就会被发现。第2章 数字逻辑基础 十进制数码的奇偶校验码表十进制数码的奇偶校验码表第2章 数字逻辑基础 7位字符编码表位字符编码表(ASCII码码)第2章 数字逻辑基础.2 逻辑代数基础逻辑代数基础l1.逻辑变量逻辑变量:l二值二值(”0”1”)变量称为逻辑变量。变量称为逻辑变量。l0和和1不表示数量的大小，只表示完全对立的两不表示数量的大小，只表示完全对立的两种逻辑状态。种逻辑状态。l通常，通常，1表示条件具备或结果发生；表示条件具备或结果发生；0表示条件表示条件不具备或结果不发生。不具备或结果不发生。l例如例如:开关的通和断、灯泡的亮和暗、信号的有开关的通和断、灯泡的亮和暗、信号的有和无、电平的高和低、和无、电平的高和低、晶体管的导通和截止等晶体管的导通和截止等相互对立的逻辑关系相互对立的逻辑关系.在逻辑代数中用仅有两个在逻辑代数中用仅有两个取值（取值（0和和1）的变量来表示）的变量来表示.l逻辑变量可以分为两类：逻辑自变量（简称逻逻辑变量可以分为两类：逻辑自变量（简称逻辑变量）和逻辑因变量（即逻辑函数）。辑变量）和逻辑因变量（即逻辑函数）。第2章 数字逻辑基础 逻辑代数基础逻辑代数基础l2.逻辑函数逻辑函数l如果逻辑自变量如果逻辑自变量A、B、C、的的取值确定以后，逻辑因变量取值确定以后，逻辑因变量Z的值的值也被惟一地确定了，则称也被惟一地确定了，则称Z是是A、B、C、的逻辑函数，的逻辑函数，记作记作l Z=F(A,B,C,)第2章 数字逻辑基础 3.基本逻辑关系（运算）基本逻辑关系（运算）及表示方法及表示方法l逻辑关系是指逻辑变量的因果关系。逻辑关系是指逻辑变量的因果关系。l最基本的逻辑关系有最基本的逻辑关系有“与与”、“或或”、“非非”3种，种，相应的也有相应的也有3种最基本的种最基本的逻辑运算：与运算、或运算和非运算。逻辑运算：与运算、或运算和非运算。l逻辑关系可以用图形符号、逻辑关系可以用图形符号、逻辑表达逻辑表达式和真值表来表示式和真值表来表示第2章 数字逻辑基础 与逻辑关系、与运算与逻辑关系、与运算 当决定一件事情的各个条件全部具备时，当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事才会发生，这件事才会发生，这样的因果关系叫做与这样的因果关系叫做与逻辑关系，简称与逻辑逻辑关系，简称与逻辑.图图（a）电电路路中中，只只有有当当开开关关A与与B全全闭闭合合时时灯灯Z才才会会亮亮，所所以以说说灯灯Z与与 A、B是是与与逻辑关系。逻辑关系。图图（b）是是我我国国新新国国标标所所规规定定的的（下下同同）与逻辑的图形符号。与逻辑的图形符号。第2章 数字逻辑基础 图图 2.2.1 与逻辑与逻辑(a)电路举例；电路举例；(b)图形符号图形符号第2章 数字逻辑基础 真值表真值表:列出逻辑自变量取值的所有状态组合及逻列出逻辑自变量取值的所有状态组合及逻辑因变量的对应值辑因变量的对应值 状态赋值状态赋值:表中表中，0表示开关断开（条件不具备）、表示开关断开（条件不具备）、灯灭（结果不发生）；灯灭（结果不发生）；1表示开关闭合（条件具备）、表示开关闭合（条件具备）、灯亮（结果发生）灯亮（结果发生）表与逻辑真值表表与逻辑真值表ABZ000110110001第2章 数字逻辑基础 Z=AB 与运算的表达式与运算的表达式(对应图（对应图（a）电路）电路)读作读作Z等于等于A与与B或或Z等于等于A乘乘B，逻辑乘符号逻辑乘符号“”“”可以省略，可以省略，故上式也可写为故上式也可写为Z=ABZ=AB。与逻辑的运算规则与普通代数相似：与逻辑的运算规则与普通代数相似：00=0 01=0 10=0 11=1 第2章 数字逻辑基础 或逻辑关系、或运算或逻辑关系、或运算 当在决定一件事情的各个条件中，只要具备当在决定一件事情的各个条件中，只要具备一个或者一个以上的条件时，这件事情就会发一个或者一个以上的条件时，这件事情就会发生，这样的因果关系称之为或逻辑关系，简称生，这样的因果关系称之为或逻辑关系，简称或逻辑。或逻辑。图（图（a）所示电路中，灯）所示电路中，灯Z亮与开关亮与开关A、B闭闭合是或逻辑关系合是或逻辑关系,图（图（b）是或逻辑的图形符号。）是或逻辑的图形符号。或逻辑关系对应的逻辑运算为或运算。或逻辑关系对应的逻辑运算为或运算。对于图（a）电路中的逻辑变量Z、A、B，其逻辑运算表达式为 第2章 数字逻辑基础 图图 2.2.2 2.2.2 或逻辑或逻辑(a)电路举例；电路举例；(b)图形符号图形符号 或逻辑电路举例和图形符号或逻辑电路举例和图形符号 第2章 数字逻辑基础 表二变量表二变量A、B或逻辑真值表或逻辑真值表第2章 数字逻辑基础 Z=A+B 读作读作Z等于等于A或或B，也可读作也可读作Z等于等于A加加B。或逻辑关系对应的逻辑运算为或运算。对于图或逻辑关系对应的逻辑运算为或运算。对于图（a）电路中的逻辑变量）电路中的逻辑变量Z、A、B，其逻辑运其逻辑运算表达式为算表达式为或逻或逻辑运算表达式辑运算表达式第2章 数字逻辑基础 或逻辑的运算规则或逻辑的运算规则0 00=00=00 01=11=11 10=10=111=1 第2章 数字逻辑基础 非逻辑关系、非逻辑关系、非运算非运算非非（反反）逻逻辑辑关关系系就就是是结结果果否否定定所所给给的的逻逻辑条件，辑条件，或者结果的产生是条件的逻辑反。或者结果的产生是条件的逻辑反。在在图图.2.3.2.3（a a）所所示示电电路路中中，灯灯Z Z亮亮与与开开关关A A闭闭合合是是非非逻逻辑辑关关系系，即即开开关关A A闭闭合合，灯灯暗暗，开关开关A A断开，灯亮。断开，灯亮。图图.2.3.2.3（b b）是非逻辑的图形符号。）是非逻辑的图形符号。第2章 数字逻辑基础 图图 .2.3.2.3 非逻辑非逻辑(a)电路举例；电路举例；(b)图形符号图形符号 非逻辑电路举例和图形符号非逻辑电路举例和图形符号 第2章 数字逻辑基础 表表2.2.3 2.2.3 非逻辑真值表非逻辑真值表 第2章 数字逻辑基础 非非逻逻辑辑关关系系相相对对应应的的逻逻辑辑运运算算为为非非运运算算。图图.2.3.2.3（a a）电路的逻辑运算表达式为）电路的逻辑运算表达式为 读读 作作Z Z等等 于于A A非非（反反）。A A上上 面面 的的 一一 横横 和和 图图 .2.3.2.3（b b）中的小圆圈都是表示逻辑非的意思。）中的小圆圈都是表示逻辑非的意思。非逻辑的运算规则为非逻辑的运算规则为 非逻非逻辑运算表达式辑运算表达式第2章 数字逻辑基础 其他其他5 5种基本逻辑关系种基本逻辑关系在在上上述述3 3种种最最基基本本的的逻逻辑辑关关系系的的基基础础上上，可可以以组组合合其其它它5 5种种逻逻辑辑关关系系：与与非非、或或非非、与与或或非非、异异或或和和同同或或。图图.2.4.2.4所所示示为为它它们们的的图图形形符符号号，其其逻逻辑辑运运算算表达式为表达式为 第2章 数字逻辑基础 图图.2.4()与非逻辑；与非逻辑；(b)(b)或非逻辑；或非逻辑；(c)(c)与或非逻辑；与或非逻辑；(d)(d)异或逻辑；异或逻辑；(e)同或逻辑同或逻辑 常用的常用的5种逻辑关系图形符号种逻辑关系图形符号第2章 数字逻辑基础 异或逻辑和同或逻辑异或逻辑和同或逻辑l异或逻辑关系的含义为：两个逻辑自变量状态相同时，结果不发生，而状态不同时，结果才发生。l异或逻辑的反为同或逻辑，即两变量相同时，输出为1，相异时，输出为0。表是异或和同或逻辑的真值表。第2章 数字逻辑基础 表表2.2.4 2.2.4 异或逻辑异或逻辑Z Z4 4和同或逻辑和同或逻辑Z Z5 5真值表真值表 第2章 数字逻辑基础 逻辑代数的重要规则、基本公式和定理逻辑代数的重要规则、基本公式和定理1.1.逻辑代数的逻辑代数的3 3个重要规则个重要规则（1 1）对对偶偶规规则则：如如果果两两个个逻逻辑辑表表达达式式相相等等，则则它它们的对偶式也一定相等们的对偶式也一定相等。对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Z Z，如如果果把把式式中中的的“”换换 成成“”“”，“”“”换换 成成“”，“1”“1”换换 成成“0”“0”，“0”“0”换换成成“1”,“1”,且且保保持持原原表表达达式式的的运运算算优优先先顺顺序序，就就可可以以得得到到一一个个新新的的表表达达式式Z，Z称称为为Z的的对偶式。例如对偶式。例如 第2章 数字逻辑基础 在在运运用用对对偶偶规规则则时时，要要特特别别注注意意保保持持原原表表达达式式运运算算符符号号的的优优先先顺顺序序：先先括括号号，后后“与与”，再再“或或”运运算。算。必要时加上括号（例如必要时加上括号（例如Z1的对偶式的对偶式Z1）。）。求对偶式求对偶式第2章 数字逻辑基础（2 2）反反演演规规则则：对对于于任任意意一一个个函函数数表表达达式式 Z Z，如如果果将将 Z Z中中所所有有的的“”“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”“0”换换成成“1”“1”，“1”“1”换换成成“0”“0”，原原变变量量换换成成反反变变量量，反反变变量量换换成成原原变变量量，那那么么所所得得到到的的表表达达式式就就是是Z Z的的反函数。反函数。利利用用反反演演规规则则可可以以很很容容易易地地求求出出一一个个函函数数的反函数。的反函数。例如：例如：第2章 数字逻辑基础 运用反演规则时，运用反演规则时，要特别注意两点：要特别注意两点：运算符号的优先顺序与对偶规则相同。运算符号的优先顺序与对偶规则相同。不是一个变量上的反号应保持不变。不是一个变量上的反号应保持不变。（3）代入规则：代入规则：在任何逻辑等式中，如果等式两边均出现某一在任何逻辑等式中，如果等式两边均出现某一变量，都代之以一个函数，则等式仍然成立。变量，都代之以一个函数，则等式仍然成立。第2章 数字逻辑基础 2.2.逻辑代数的基本公式和定理逻辑代数的基本公式和定理（2）还原律还原律（3）同一律同一律 AA=AA+A=A（1）1-0律第2章 数字逻辑基础（4）交换律交换律 AB=BAA+B=B+A（5）结合律结合律(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)（6）分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)（7）反演律反演律 第2章 数字逻辑基础（8）吸收律吸收律(9)附加律附加律 第2章 数字逻辑基础 l上述反演律（又叫德上述反演律（又叫德摩根定律）在进行摩根定律）在进行逻辑函数表达式的转换和求逻辑函数的反逻辑函数表达式的转换和求逻辑函数的反函数时十分有用，函数时十分有用，应予灵活掌握。应予灵活掌握。l 通过反演律也可以证明反演规则通过反演律也可以证明反演规则上列公式都可以用分别列出等式两边的真上列公式都可以用分别列出等式两边的真值表来证明其正确性。值表来证明其正确性。第2章 数字逻辑基础 代入规则的应用代入规则的应用可以扩大基本公式运用范围可以扩大基本公式运用范围将已知等式中某一变量用任意函数代替后，将已知等式中某一变量用任意函数代替后，就可得到新的等式。例如，就可得到新的等式。例如，已知已知用用Z=AC代替等式中的代替等式中的A，根据代入规则等，根据代入规则等式仍然成立，式仍然成立，则得到则得到第2章 数字逻辑基础 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 异或运算的有关公式异或运算的有关公式第2章 数字逻辑基础 如果 ，则 因果互换律因果互换律异或运算的有关公式异或运算的有关公式第2章 数字逻辑基础 常量和变量的异或运算常量和变量的异或运算 异或运算的有关公式异或运算的有关公式第2章 数字逻辑基础 2.2.3 逻辑函数的表示方法及其转换逻辑函数的表示方法及其转换逻辑函数的逻辑函数的4种表示方法：种表示方法：真值表真值表逻辑表达式（函数表达式）逻辑表达式（函数表达式）逻辑图逻辑图卡诺图。卡诺图。它它们们各各有有特特点点，而而且且可可以以互互相相转转换换。第2章 数字逻辑基础 1.1.真值表真值表 真真值值表表是是以以表表格格的的形形式式反反映映输输入入逻逻辑辑变变量量的的取取值值组合与函数值之间的对应关系的。组合与函数值之间的对应关系的。特点特点:直观、明了直观、明了 在在把把一一个个实实际际逻逻辑辑问问题题抽抽象象为为数数学学问问题题时时，使使用用真值表最为方便。真值表最为方便。在在进进行行数数字字电电路路的的逻逻辑辑设设计计时时，首首先先是是根根据据设设计计要求，要求，列出真值表。列出真值表。第2章 数字逻辑基础【例例2.2.12.2.1】一一个个电电路路有有3 3个个输输入入端端，1 1个个输输出出端端，其其功功能能是是输输出出电电平平应应与与输输入入信信号号多多数数的的电电平平保保持持一一致致。列出该电路的真值表。列出该电路的真值表。解解 （1 1）设定输入、输出变量设定输入、输出变量:设输入变量为设输入变量为A A、B B、C C，输出变量为，输出变量为Z;进行逻辑变量的状态赋值进行逻辑变量的状态赋值:设高电平用设高电平用1表示表示,低电平用低电平用0表示。表示。第2章 数字逻辑基础（2）列真值表列真值表 3个个输输入入变变量量共共有有8种种取取值值组组合合，在在真真值值表表中中一一一一列列出出，再再根根据据题题意意分分析析输输出出与与输输入入信信号号的的逻逻辑辑关关系系，即即可可列列出出如如例例的的真真值值表表如如下。下。第2章 数字逻辑基础 表表2.2.5 2.2.5 例的真值表例的真值表 第2章 数字逻辑基础 列真值表时要注意的问题列真值表时要注意的问题l一定要把所有输入逻辑变量的取值组合列一定要把所有输入逻辑变量的取值组合列全，全，n个输入变量共有个输入变量共有2的的n次方个取值组合，次方个取值组合，在此基础上列出输出逻辑变量在此基础上列出输出逻辑变量(即逻辑函数即逻辑函数)的全部对应值。的全部对应值。l有时输出变量不只一个，它们和输入变量有时输出变量不只一个，它们和输入变量之间都是逻辑函数关系，之间都是逻辑函数关系，亦应在真值表中亦应在真值表中一一列出。一一列出。l 有时为了简便，有时为了简便，在真值表中只列出那些使在真值表中只列出那些使函数值为函数值为1的输入变量取值组合，的输入变量取值组合，而不列出而不列出使函数值为使函数值为0和不会出现的组合，和不会出现的组合，这也是允这也是允许的。许的。第2章 数字逻辑基础 2.2.函数表达式函数表达式 用用与与、或或、非非等等逻逻辑辑运运算算表表示示逻逻辑辑函函数数中中各各个个变变量量之之间间逻逻辑关系的代数式，叫做函数表达式或逻辑表达式。辑关系的代数式，叫做函数表达式或逻辑表达式。主要优点：主要优点：（1 1）书书写写简简洁洁、方方便便,便便于于利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公式式和和定定理理进进行运算、变换。行运算、变换。（2 2）便便于于画画出出逻逻辑辑图图(工工程程图图)。只只要要用用相相应应的的逻逻辑辑关关系系的图形符号代表表达式中的有关运算，即可得到逻辑图。的图形符号代表表达式中的有关运算，即可得到逻辑图。缺缺点点:不不如如真真值值表表直直观观，尤尤其其是是在在逻逻辑辑函函数数比比较较复复杂杂时时，难以直接从变量取值看出函数的值。难以直接从变量取值看出函数的值。第2章 数字逻辑基础 3.3.逻辑图逻辑图逻逻辑辑图图就就是是用用逻逻辑辑图图形形符符号号来来表表示示逻逻辑辑函函数数与与变量之间的逻辑关系。变量之间的逻辑关系。一一般般图图形形符符号号都都有有相相应应的的电电路路器器件件，所所以以，逻逻辑图也叫逻辑电路图，辑图也叫逻辑电路图，它比较接近工程实际。它比较接近工程实际。4.4.卡诺图卡诺图卡卡诺诺图图实实际际上上是是真真值值表表的的另另一一种种表表示示形形式式，我我们们将在下面逻辑函数的化简部分中详细介绍。将在下面逻辑函数的化简部分中详细介绍。第2章 数字逻辑基础 5.真值表和函数表达式之间的互相转换真值表和函数表达式之间的互相转换1）由真值表求函数表达式由真值表求函数表达式(1)最最小小项项的的概概念念：对对于于n个个变变量量，如如果果P是是一一个个含含有有n个个因因子子的的乘乘积积项项，在在P中中每每一一个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式作作为为一一个个因因子子出出现现一一次次，且且仅仅出出现现一一次次，则则称称P为为n个个变变量量的的一一个个最最小小项项。n个个变变量量共共有有2n个个最小项。最小项。第2章 数字逻辑基础 例例2.2.12.2.1所所示示函函数数Z Z与与变变量量逻逻辑辑关关系系真真值值表表中中，3 3个个变变量量ABCABC有有8 8种种取取值值组组合合，即即000000、001001、010010、011011、100100、101101、110110、111 111；相应的乘积项也有相应的乘积项也有8 8个，即个，即。这这8 8个个乘乘积积项项都都有有3 3个个因因子子；每每一一个个变变量量都都以以原原变变量量或或者者反反变变量量的的形形式式作作为为一一个个因因子子出出现现一一次次，且且仅仅出出现现一一次次，我我们们把把这这8个个乘乘积积项项称称为为3个个变变量量A、B、C的的最小项。最小项。最最小小项项的的性性质质：每每一一个个最最小小项项对对应应了了一一组组变变量量取取值值，而而任任意意一一个个最最小小项项只只有有对对应应的的那那一一组组变变量量取取值值组组合合使使其其值值为为1；任任意两个最小项的积恒为意两个最小项的积恒为0；全体最小项之和恒为全体最小项之和恒为1。第2章 数字逻辑基础 表表2.2.6 2.2.6 三变量最小项的真值表三变量最小项的真值表 第2章 数字逻辑基础 对对最最小小项项进进行行编编号号主主要要是是为为了了叙叙述述和和书书写写方方便便，编编号号的的方方法法是是：把把与与最最小小项项对对应应的的那那一一组组变变量量取取值值组组合合当当成成二二进进制制数数，与与其其对对应应的的十十进进制制数数就就是是该该