《数学学习领域》PPT课件.ppt

數學學習領域教師專題研究成果 桃園縣桃園市西門國民小學95學年度 報告內容研究主題研究成員研究動機研究目的文獻探討研究方法研究樣本研究工具問卷設計施測說明問卷說明問卷資料分析結論與建議小朋友的表現 研究主題國小學生長度概念與估 測能力之發展 研究成員一年級：歐巧虹、劉紋伶；二年級：劉芳妏、陳欣怡；三年級：廖文淑、許仁美；四年級：吳瑞貞、吳一凡、溫稚婕；五年級：葉益任、陳忠和、王森結；六年級：林容秀、曹以福；資源班：陳雅莊。研究動機教師們發現學生對於長度的單位與概念容易混淆。估估看課本的長度有多長？學生填寫的答案相差甚多；1037公分皆有。故專題針對長度主題進行研究，藉以了解學生這方面的概念，及現行課程教育下之學生相關能力。研究目的（一）了解數與量（量與實測）中的長度教材規劃，與相關理論基礎。（二）了解學生長度方面的認知情況。（三）調查本校學生的估測能力與量感。文獻探討（一）長度教材規劃（上）量與實測-感官量的發展階段基本想法（九年一貫）架構理念（82年版）1.初步概念：透過感官感覺一個量；能對兩個同類量作直接比較；能以整體、合成複製的方式複製一個量；利用刻度尺描述一個量。1.某量的初步概念：1-1某量的認識1-2某量的直接比較2.間接比較：對無法直接比較的兩個同類量，透過複製一個媒介量，利用此媒介量與另一量進行直接比較，並把比較的結果推論成原兩量比較的結果(含量的保留概念、量的相等、大小的遞移律)。2.某量的間接比較2-1某量的間接比較3.個別單位：從等量的合成、複製的結果來描述一個量，並進行比較。能利用普遍單位之描述，對兩個同類量進行加、減、乘、除運作。認識各類量的基本普遍單位(如長度的米、厘米、千米；容量的公升、分公升、毫公升、千公升；重量的克、公斤、千公斤；面積的平方厘米、平方米、百平方米、千平方米；體積的立方厘米、立方米；角度的度)。2-3.某量的普遍單位比較3-1認識某普遍單位量的意義3-2以某普遍單位量為單位，進行實測及估測的活動 文獻探討（一）長度教材規劃（下）4.單位化聚：將用小單位描述的量，改用大單位來描述，這種運算叫做聚。如：12345公尺可聚成12公里345公尺或12.345公里。反之則叫做化。如：1.65公斤可化成1650公克。4.某量的測量單位制度概念4-2甲普遍單位量及乙普遍單位量的化聚 5.公式化的概念：(只有面積和體積有此階段)只有面積和體積兩量有此層次，此層次的要點是用公式來描述一個特定的幾何形體的體積和面積量。此層次包括3個階段，以面積為例說明如下：(1)利用乘法簡化點算的過程(一個長方形被多少個小正方單位所覆蓋？)。(2)將平行四邊形、三角形、梯形切割重組成長方形而求算其面積(此處包含進一步將多邊形切割成幾個三角形，求算這些三角形面積後，算出其和)。(3)將在(1)和(2)中求算面積的過程中，以公式描述並將這些公式整合成一個概念。(在此整合概念中，梯形是一般形，三角形可視為上底為0的梯形，而長方形、平行四邊形則可視為上下底等長的梯形，在這種看法下，上述各形的公式，其實是互通的)。5.某量的測量公式概念：5-1透過對某平面圖5-2某平面圖形或立體上某量求法公式的應用 文獻探討（二）長度相關能力指標安排1 能力指標教材架構九年一貫八十二年版N-1-09能透過感官活動感覺一個量，並能對兩個同類量作直接比較，進而對一個量作複製活動（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積）。1.初步概念1-1某量的認識1-2某量的直接比較N-1-10能使用生活中常用的測量工具（刻度尺的方式，即不涉及其結構），以一階普遍單位描述一個量（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積；普遍單位：米、厘米、分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米）。1.初步概念1-3使用以某量為刻度單位的工具3.個別單位2-2某量的個別單位比較與實測3-1認識某普遍單位的意義3-2以某普遍量為單位，進行實測及估測的活動N-2-09能在保留概念形成後，進行兩個同類量的間接比較（利用完整複製）及個別單位的比較（利用等量合成的複製）（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積）。2.間接比較2-1某量的間接比較3.個別單位2-2某量的個別單位比較與實測N-2-10能認識各種量的普遍單位，應用在生活中的實測和估測活動，並培養出量感（普遍單位：千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒）。3.個別單位3-1認識某普遍單位的意義3-2以某普遍量為單位，進行實測及估測的活動 文獻探討（二）長度相關能力指標安排2N-2-11能理解生活中，各種量的測量工具上刻度間的結構，進而對以同單位表達的量作形式計算。N-2-12能知道同類量中二階單位之間的關係及使用二階單位作描述，並利用此關係作整數化聚。4.單位化聚4-1認識甲普遍單位量及乙普遍單位量的關係4-2甲普遍單位量及乙普遍單位量的化聚N-2-13 能以個別單位的方式（利用等物合成複製後）描述面積、體積，並能用乘法簡化長方形面積、長方形體積之點算。5.公式化概念（1）利用乘法簡化點算過程5-1 透過對某平面圖形或立體的分析綜合，認識該平面圖形或立體上某量的求法N-3-09能理解同類量中不同單位間的關係，並作化聚活動（可以有分數、小數）。4.單位化聚4-2甲普遍單位量及乙普遍單位量的化聚N-3-10認識生活中使用的大的測量單位，如：千公斤（公噸）、千公升（公秉）、百平方米（公畝）、千平方米（公頃）。3.個別單位3-1認識某普遍單位的意義3-2以某普遍量為單位，進行實測及估測的活動N-3-11 能以切割後，重新拼湊組合的方式（幾何部份要配合），將平行四邊形、三角形和梯形，變形成長方形而計算其面積，形成面積之計算公式。5.公式化概念（2）變形為長方形，求算面積（3）以公式描述5-2 某平面圖形或立體上某量求法公式的應用 文獻探討（二）長度相關能力指標安排3N-3-12 能對非直線形的平面區域，選定適當的正方形單位，估計其概略面積，並檢驗圓面積公式（r2，r為圓的半徑）5.公式化概念（1）利用乘法簡化點算過程5-1 透過對某平面圖形或立體的分析綜合，認識該平面圖形或立體上某量的求法N-3-13能理解容量和容積（體積）之間的關係，並利用此關係計算大容器（如：游泳池）之容量。N-3-14 能將各種柱體，變形成長方柱而計算其體積，形成柱體之體積計算公式。5.公式化概念（2）變形為長方體，求算體積（3）以公式描述5-2 某平面圖形或立體上某量求法公式的應用 文獻探討（三）現行長度教材的架構 時間單元名稱一年級上學期第四單元 比長短一年級下學期第三單元 有多長二年級上學期第三單元 量長度二年級下學期第三單元 公分和公尺三年級上學期第三單元 周長與面積三年級下學期第九單元 長度四年級上學期第七單元 長度四年級下學期第八單元 周長與面積六年級上學期第七單元 圓周長 研究方法本研究採用問卷調查法進行研究。以問卷來搜集樣本學生長度相關概念與長度方面的估測能力。期能藉以了解本校學生長度教材的學習成效，作為教師教學與改進之參考。研究樣本班級男生女生總人數1年幸班1714311年福班1813312年快班2015352年樂班2115363年健班1812303年康班2011314年活班1915344年力班1619355年自班1817355年信班1713306年開班2017376年心班181937合計222180402研究樣本排除英語班與音樂班學生，大部分取自數學學習領域成員所任教之班級，最後，本研究選取一至六年級各兩個班級，共402位學生作為研究樣本。研究工具(1)一至三年級估測與量感問卷(2)四至六年級估測與量感問卷(3)一至六年級長度基本認知問卷 問卷設計一至三年級估測與量感問卷一至三年級估測與量感問卷 本問卷內容含填充題、勾選題和簡單的繪圖題，供樣本學生填寫。茲將編製過程區分為兩階段：第一階段時，列出期望了解的細向估測能力。第二階段再一一針對不同細向能力選定試題呈現方式，並設計決定試題內容。最後將題目排列整理始完成一至三年級估測與量感問卷。問卷設計四至六年級估測與量感問卷四至六年級估測與量感問卷 本問卷內容含填充題和簡單的繪圖題，供樣本學生填寫。編製過程同上述一至三年級估測與量感問卷區分為兩階段。先列出期望了解的細向估測能力，再針對不同細向能力選定試題呈現方式，並決定試題內容。最後將題目排列整理始完成四至六年級估測與量感問卷。問卷設計一至六年級長度基本認知問卷一至六年級長度基本認知問卷 參考呂玉琴（民85）刊登在研習資訊中的國小學生的量與實測概念一文。該文中列舉了當時國民小學生的一些量與實測概念的學習情況，我們擷取其中的一些長度相關問題。並為避免問題相互引導，將同類型試題錯開排列整理始完成一至六年級長度基本認知問卷。施測說明一估測與量感問卷：配合數學領域兩階段劃分，一至三年級一份問卷，四至六年級一份問卷。長度基本認知問卷：由於施測內容為長度基本概念，故一至六年級施測試卷相同。施測說明二施測時間：40分鐘（兩份試卷同時發下）。施測日期：一至六年級擇訂同一日。施測班級：一7、8；二2、6；三1、2；四5、7；五2、9；六1、2。注意事項：各教師不針對內容事先教學。為了避免題目相互引導，將錯開同類型試題。【施測注意事項】【施測注意事項】（一）每生兩張問卷：長度基本認知問卷和估測與量 感問卷，兩張同時發下，作答順序無限制。（二）問卷發下，教師朗讀下方的統一指導語後 ，學生開始作答；過程中僅回應學生字體不清 晰等問題，其餘問題皆不回答。（三）不可讓學生使用任何與長度有關的工具。（四）施測時間：40分鐘，可提早交卷。（五）一三年級施測時，尚須準備一個板擦和一支 尼龍掃把。【統一指導語】【統一指導語】各位同學：這份測驗是為了了解你們的長度概念與估測能力，所有測驗結果並不會影響你們數學的成績，所以請放心的作答！在作答過程中，請不要使用任何的輔助工具(例如：直尺、三角板等)(有刻度的墊板也不行！)也不可發問，測驗時間為40分鐘，請盡全力作答，最好不要留白喔！現在請開始填答！施測說明三 問卷說明一問卷內容（例子）估測與量感問卷：請畫出一條長5公分的線 圓形花圃的周長約 公分長度基本認知問卷：直線長 公分。問卷說明二一到三年級施測之問卷 問卷說明三四到六年級施測之問卷 問卷資料分析 答對率年級試題一試題四試題八一年級77.4%35.4%12.9%二年級87.3%46.4%5.6%三年級90.1%44.2%19.6%四年級84.0%43.4%18.8%五年級81.5%55.3%21.5%六年級94.5%67.5%28.3%1.學生在試題四中的解題正確率明顯比試題一低上許多，一至六年級答對率降低26.245.9是什麼原因？2.學生在試題四中的錯誤選項選擇一樣長的比例很高，因而如果說學生在試題四中的錯誤是以端點是否對齊作為判斷的依據，那麼學生又為什麼不會根據此依據對試題一做出錯誤的判斷呢？一至六年級長度基本認知問卷一至六年級長度基本認知問卷資料分析例子（資料分析例子（1）問卷資料分析1.測驗結果顯示除了六年級外（也只差一人），其他年級學生在試題七中的表現都比在試題三來得好，推論本校學生普遍對周長一詞所代表的意義敏感度較高，反之，也代表學生的學習比較偏向關鍵字的學習導向的。2.試題五因是以文字題方式呈現，內容無關鍵字，加上一旁並無沒有搭配圖示，學生答對率全面下降，所以應用文字題比圖形題來得難。一至六年級長度基本認知問卷一至六年級長度基本認知問卷資料分析例子（資料分析例子（2）答對率年級試題三試題七試題五一年級9.6%12.9%0%二年級57.7%63.3%11.2%三年級73.7%78.6%24.5%四年級78.2%86.9%55.0%五年級66.1%72.3%64.6%六年級86.4%85.1%62.1%問卷資料分析一至三年級估測與量感問卷一至三年級估測與量感問卷 資料分析例子（資料分析例子（1）Q：一個板擦大約有多長？年級誤差人數量感佳量感佳-2.1-2-1.1-1-0.100.111.122.1其他-2 +2一年級2500000917812.9%二年級405121071912.6%三年級40101001821219.6%1.施測結果反映出二年級學生儘管剛學習完相關課程，但在長度的量感上似乎並無明顯進展。2.三年級學生量感發展亦遇瓶頸，顯示單靠課程活動要培養量感過於理想化，因目前課程設計估測活動太少，生活中又少有估估看的時候，導致學生可能無法有充足的機會來培養量感。問卷資料分析1.由二、三年級表現較佳來看，可知量感的確是會隨著 年齡增長，學習與生活經驗的增加而有所進步。2.由二年級比三年級表現好也可得知學生相關量感的培 養，會因經常接觸而增強，也會因較少使用而減弱，若要學生順利培養出較佳的估測能力與長度量感，相 關活動理應循序在每一階段出現，而非目前聚焦在某 一個年級的模式。一至三年級估測與量感問卷一至三年級估測與量感問卷 資料分析例子（資料分析例子（2）Q：請在下面空白處畫出一條5公分長的直線。年級誤差人數量感佳答對率-2.1-2-1.1-1-0.100.111.122.1其他-2 +2一年級5330749131727.4%二年級28239117655881.6%三年級14574108553455.7%問卷資料分析1.此題和試題四同是長度的合成活動，但此題中的學生表現明顯比試題四差，就連剛進行完相關活動的二年級學生表現也是如此，顯示人們雖然從生活經驗中可累積大概的長度量感，但若希望學生具備較精緻的量感與估測能力，在課程中加入適當的相關學習活動是必要、且有助益的。試題四：學校前門到學校後門警衛室的距離大約有多長？個橡皮擦連起來的長度枝尼龍掃把連起來的長度輛公車連起來的長度一至三年級估測與量感問卷一至三年級估測與量感問卷 資料分析例子（資料分析例子（3）Q：用一年級小朋友的鞋子來量一間教室前門到後門的距離，請問前門到後門的直線距離可能和幾隻鞋子接起來的長度一樣？結論與建議【一至三年級估測與量感問卷一至三年級估測與量感問卷】1.一、二、三年級學生的估測能力偏低，甚有不少學生的估測值和正確值的差距甚遠。2.多數二和三年級學生能使用數值和單位來表示長短，顯示學生在學習過後，至少對於長度比較有概念，具備基本的長度思維。3.二年級的學生在繪製線段的活動中表現突出，應是與二年級數學教材中有許多使用刻度尺畫出指定的長度或量出長度的活動有關。因此，讓學生經常接觸、使用刻度尺，對於十五公分內量感的培養是有所助益的。4.除了經常接觸外，建議相關活動理應循序在每一階段出現，而非目前具焦在某一個年級的模式，過了某一年級可能某一概念便不再出現的情況，可能致使發展較慢的學生喪失學習的機會。5.若希望學生具備較精緻的量感與估測能力，在課程中加入適當的相關學習活動是必要、且有助益的。6.數學並非一個獨立的學科，她與其他知識也有著密切的關係，因而數學能力要進步，其他能力與知識也應增強，才不致如同問卷施測顯現的結果一般，學生因基本常識不足而影響了數學的解題。結論與建議【一至六年級長度基本認知問卷一至六年級長度基本認知問卷】1.本校學生普遍具備分辨直線與曲線長度的基本概念，但比較兩不平行直線長度的能力偏差。2.學生解決溫度計問題時遇到一些困難，顯示我們需加強學生辨識線段圖形刻度所代表的意義與數值的能力。3.在有關周長不同敘述的問題中，五年級學生的答對率明顯比三、四年級低的情況也頗為奇怪，推論兩個原因，一是該年級學生在學習周長概念不甚完整，二是當初學習之後，課程中沒有或甚少將相關概念結合在其他概念教學之中，致使許多學生遺忘了。4.本校學生普遍對周長一詞所代表的意義敏感度較高，也顯示學生的學習比較偏向關鍵字的學習導向的。另外，若題目內容無關鍵字，一旁也沒有圖示說明，則學生答對率下降情況十分明顯。5.由於量的教學（除時間外）皆遵循固定的發展過程，依學生概念發展的原則，不同年級的學生在各題目中的表現應是傾向越高年級表現越佳的情況，但在整理數據的過程中，我們也發現有部分年級在某些題目中的表現有比較低年級下降的情形，皆已在進行各題分析時提出，供作教師進行補救教學之參考。6.在使用斷尺的相關活動中，發現五、六年級學生有11.127.7的學生無法正確判斷題目中的線段長度，令人有些驚訝。7.總之，這些數據對於我們這些教師有些許提醒與提示作用，而此偶一為之的檢測問卷確有其存在的必要。研究省思與困難研究過程中我們發現問卷資料分析不如預期順利，反省原因有五：1.小組成員平日級務與教學事務繁忙 2.研究內容過多 3.設計規劃期程過於理想化 4.大家皆無相關資料分析經驗5.部分題目設計不良，導致分析不易 看看小朋友的表現唷量感佳：看看小朋友的表現唷量感較弱：看看小朋友的表現唷 看看小朋友的表現唷有意思的答案 看看小朋友的表現唷 感謝聆聽桃園縣西門國小數學學習領域桃園縣西門國小數學學習領域陳宗葳孔德年孟萱李芷萱李曉晴曾文蕙楊佳頤連偲妘林映慈王瑀李卿瑜呂旻軒陳宣蓉侯佩瑜林萱荷李宛錡更多资源