《高等数学》练习题库.pdf
华中师范大学网络教育学院华中师范大学网络教育学院高等数学练习测试题库高等数学练习测试题库一选择题一选择题1.函数 y=1x21是（）A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D界函数2.设 f(sinx2)=cosx+1,则 f(x)为（）A 2x22 B 22x2 C 1x2 D 1x23下列数列为单调递增数列的有（）A，B3，25423，4，5Cf(n),其中 f(n)=n1 n,n为奇数 D.n1 n，n为偶数2n12n4.数列有界是数列收敛的（）A充分条件 B.必要条件无C.充要条件 D 既非充分也非必要5下列命题正确的是（）A发散数列必无界 B两无界数列之和必无界C两发散数列之和必发散 D两收敛数列之和必收敛sin(x21)（）6limx1x 1 27设lim(1)xe6则 k=()x 68.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）2kx B.x3-1 C.(x-1)2 (x-1)(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（）A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件 D.无关条件10、当|x|2）有时，211111dxdx221 arcsin x20201 xn1 xn1 x21 x206111dx即，02,(n 2)261 xn13设f(x)，g(x)区间 a,a(a 0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)f(x)A(A为常数)。证明：aa0aaf(x)g(x)dx Ag(x)dx0a证明：af(x)g(x)dx af(x)g(x)dx 0f(x)g(x)dx0af(x)g(x)dx令x u f(u)g(u)du f(x)g(x)dxa00af(x)g(x)dx f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx f(x)f(x)g(x)dx Ag(x)dxa0000aaaaa4设 n 为正整数，证明证明：令 t=2x,有201cos xsin xdx n2nn20cosnxdx20cos xsin xdx nn12n120(sin2x)nd2x 12n10sinntdt12nn,sin tdt sin tdtn1022又，sin tdtt u sin(u)du 02sinnudu，nn220所nn以1nn，12cos xsin xdx 2sin tdt 2sin tdt)(002n102n201sin tdt n2n2sinnxdx又，sin xdxx n22t cos tdt 2cosnxdx200n因此，201cos xsin xdx n2nn20cosnxdxa5设(t)是正值连续函数，f(x)ax t(t)dt,a x a(a 0),则曲线y f(x)在 a,a上是凹的。证明：f(x)a(x t)(t)dt x(t x)(t)dt x(t)dt t(t)dt t(t)dt x(t)dtaaaxxxxaxaf(x)(t)dt(t)dt(t)dt(t)dtaxaaxaxxf(x)(x)(x)2(x)0故，曲线y f(x)在 a,a上是凹的。dxdxx6.证明：x2211 x1 x11dx证明：x1 x21令x1u1dudxxx(du)1x111u211 x2u212u11117设f(x)是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则aTaf(x)dx f(x)dx0T证明：TaTf(x)dxaT令xuTa0f(u T)du f(x T)dx0af(x)以T为周期af(xT)f(x)0f(x)dxa0f(x)dx Tf(x)dx 0aTT在等式两端各加0f(x)dx，于是得aTf(x)dx f(x)dx08若f(x)是连续函数，则0f(t)dtdu(x u)f(u)du00 xux证明：0f(t)dtdu uf(t)dtuf(u)du0000 xf(t)dt uf(u)du00 xxxuuxx(x u)f(u)du0 x9设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得f()g(x)dx g()f(x)dxab证明：作辅助函数F(x)af(t)dtxg(t)dt，由于f(x),g(x)在a,b上连续，所以F(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)F(b)0由洛尔定理F()0,(a,b)xxxbxb即af(t)dtxg(t)dtbxf(x)g(t)dt f(t)dt g(x)xax f()g(x)dx g()f(x)dxab0亦即，f()g(x)dx g()af(x)dxbb10设f(x)在a,b上连续，证明：af(x)dx (b a)af2(x)dx2bxx2证明：令F(x)f(t)dt(x a)f(t)dtaa2F(x)f(t)f(x)dt 02ax故f(x)是a,b上的减函数，又F(a)0，F(b)F(a)022故af(x)dx (b a)af(x)dxbb11设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：baf(x)dx M(b a)22证明：由题设对xa,b,可知f(x)在a,b上满足拉氏微分中值定理，于是有f(x)f(x)f(a)f()(x a),a,x又f(x)M，因而，f(x)M(x a)由定积分比较定理，有af(x)dx aM(x a)dx bbM(b a)22
