二次函数线段最值问题.pdf

二二次次函函数数线线段段最最值值问问题题几何类几何类“最短距离”经典问题汇总“最短距离”经典问题汇总一、“两点之间线段最短”一、“两点之间线段最短”基本问题在直线l上找一点P;使得其到直线异侧两点A、B的距离之和最小;如图所示作点A或B关于直线l的对称点;再连接另一点与对称点;与l的交点即为P点变式 1 直线l1、l2交于O;P是两直线间的一点;在直线l1、l2上分别找一点A、B;使P1l1A得PAB的周长最短 如图所示;作P点关于l1、l2的对称点P1、P2;连接P1P2;与l1、l2P分别交于A、B两点;即为所求l2变式 2 直线l1、l2交于O;A、B是两直线间的两点;从点A出发;先到l1上一点P;再OB从P点到l2上一点Q;再回到B点;求作P、Q两点;使AP PQQB最小 如图所示;P2作A、B两点分别关于直线l1、l2的对称点A;连接A分别交l1、l2于P、Q;即、BB为所求变式 3 从A点出发;先到直线l上的一点P;再在l上移动一段固定的距离PQ;再回到点B;求作P点使移动的距离最短;如图所示 先将A点向右平移到A点;使AA等于PQ的长;作点B关于l的对称点B;连接A;与直线l的交点即为Q点;将Q点向左平移线段PQ的长;即得到P点B变式 4 下面这个题与对称无关;但涉及到了平移的内容;与变式 4 的作法有点类似;A因此放在这里;共享一下PA、B是位于河两岸的两个村庄;要在这条宽度为d的河上垂直建一座桥;使得从AAd村庄经过桥到B村庄所走的路程最短 如图所示;将点A向垂直于河岸的方向向下Q平移距离d;到A点;连接A B交河岸于Q点;过Q点作PQ垂直于河岸;交河岸的另一端为P;即为所求B变式 5 在直线l上找一点P;使得其到直线异侧两点A、B的距离之差的绝对值最大;如图所示作点A或B关于直线l的对称点;再连接另一点与对称点;其延长线与l的交点即为P点二、“垂线段最短”二、“垂线段最短”例题探究：例题探究：1【探究1】如图;抛物线y x2 x4与 x 轴的两个交点分别为 A4;0、B2;0;与 y 轴交于点 C;顶2点为 DE1;2 为线段 BC 的中点;BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G在直线 EF 上求一点 H;使CDH 的周长最小;并求出最小周长；【探究2】已知在平面直角坐标xOy系抛物线y x2 2x 3与x轴交于yDA、B两点点A在点B的左侧;与y轴交于点C.若一个动点P自C点C出发;先到达x轴上某点设为点E;再到达抛物线的对称轴上GE某点设为点F;最后运动到点C求使点P运动的总路径最短的A点E、点F的坐标;并求出这个最短总路径的长FOB x【探究3】已知在平面直角坐标xOy系抛物线y x2 2x 3与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧;与y轴交于点C;在线段BC上是否存在一点P;使得B、C两点到直线AP的距离之和最大 若存在;请求出P点的坐标；若不存在;请说明理由.【探究4】已知在平面直角坐标xOy系抛物线y x2 2x 3与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧;与y轴交于点C.若一个动点P自OC的中点M出发;先到达x轴上某点设为点E;再到达抛物线的对称轴上某点设为点F;最后运动到点C求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标;并求出这个最短总路径的长3【探究5】如图;在平面直角坐标系xOy中;直线y x 6与x轴、y轴的交点分别为A、B;将OBA对4折;使点O的对应点 H 落在直线AB上;折痕交x轴于点C设过A、B、C三点的抛物线111y x2x6的对称轴与直线BC的交点为T;Q为线段 BT 上一点;请求出QAQO的取值44范围【探究6】在平面直角坐标系 xOy 中;抛物线y x26x 812且过点D(8,m)将抛物线y x26x 8左右平移;经过 A2;0、B4;0 两点;直线y x 2交 y 轴于点 C;记平移后点 A 的对应点为A;点 B 的对应点为B;当四边形ABDC的周长最小时;求抛物线的解析式及此时四边形ABDC周长的最小值2【探究7】已知：抛物线y x 2x3与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧;与y轴交于点C;顶点为 D.直线 l 过点 C;且 lx 轴;E 为 l 上一个动点;EFx 轴于 F求使 DE+EF+BF 的和为最小值的 E、F 两点的坐标;并直接写出 DE+EF+BF 的最小值.