初中数学竞赛——绝对值.pdf

-第 2 讲绝对值知识总结归纳一.绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0a,(a 0)a,(a 0)a,(a 0)a 0,(a 0)或a 或a a,(a 0)a,(a 0)a,(a 0)二.绝对值的几何意义a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离数a的绝对值记作a三.去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号 先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即a 0，a 0还是a 0）如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论（2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式 这种方法被称为零点分段法四.零点分段法的步骤（1）找零点；（2）分区间；（3）定正负；（4）去符号五.含绝对值的方程（1）求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解（2）在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类*围相比较，去掉不符合要求的六.绝对值三边不等式:七.含有绝对值的代数式的极值问题对于代数式x a1 x a2 x a3 x an（a1 a2 a3 an）.z.-（1）如果n为奇数，则当x an1时取最小值；2（2）如果n为偶数，则当an x an时取最小值.221典型例题一.绝对值的化简【例1】已知b a 0c，化简：a a b c b a c【例2】已知a、b、c的大小关系如图所示，求ca0b【例3】已知a、b、c、d满足a 1b0c 1 d，a 1 b1,1c 1d，求abcd的值.【例4】化简：x 1 x 2.【例5】化简：x 5 2x5.【例6】化简：2x 3 x 1 3 x 2.【例7】化简：x 5 4 x 2x 3；【例8】化简：x 2x 1.【例9】化简：x 1 2 x 1.x 2xx 3 xa bb cc aab ac的值.a bb cc aab ac【例10】已知x0，化简：.x 2x 2xx【例11】若2 x 5，化简：【例12】若a0，且x x 5x 5.a，化简：x 1 x 2.a【例13】若2x 45x 13x 4的值恒为常数，求x满足的条件及此常数的值.a、b为有理数，且a b a b，试求ab的值.【例14】二.绝对值方程【例15】解方程：（1）2(x 1)x 5；.z.-（2）5x 7 6；（3）x 4 4 x 26【例16】4x 3 2x 9.【例17】解方程：（1）x 1 x 4 3；（2）3x x 2 4；（3）x 1 x 3【例18】解方程：|x|4|5.【例19】解方程：|4x8|3x|5.【例20】解方程：x 3x 2 4.【例21】解方程：3x 2 x 1 x 2【例22】解方程：x 2 1 3.【例23】已知关于x的方程x 2 x 3 a，试对a的不同取值，讨论方程解的情况.三.绝对值不等式【例24】解不等式：|3x 5|10.【例25】解不等式：x 2 x 3.【例26】解不等式：|x3|2x1|2.【例27】解不等式：x 4 2x 3 1.【例28】求不等式x 2006 x 9999的整数解个数.【例29】若不等式x 1 x 3 a有解，求a的取值*围.【例30】解关于x的不等式：ax1 ax1.四.绝对值的几何意义和最值问题【例31】已知0 a 4，求a 2 3a的最大值.【例32】已知y 2x 6 x 1 4 x 1，求y的最大值.z.-【例33】求x 3 x5的最小值.【例34】（1）试求x 1 x 4 x 3 x 7的最小值.（2）试求x 1 x 2 x 3 x 2013的最小值.【例35】试求x 7 2 x 2 3 x 1 4 x3 5 x100的最小值【例36】试求x 2x1 4x2 5x3的最小值【例37】如果y x 1 2 x x 2，且1 x 2，求y的最大值和最小值.五.三角不等式【例38】证明三边不等式:a b a b a b.【例39】已知x 2 1 x 9 y 5 1 y，求x y的最大值和最小值.【例40】已知(x 1 x 2)(y 2 y 1)(z 3 z 1)36，求x2y 3z的最大值和最小值.【例41】已知a、b、c、d都是有理数，a b 9，c d 16，且a bc d 25，求ba d c的值.【例42】已知ab0，P 4 a 5b a b，Q 3a 6 b 2 a b，试比较P与Q的大小.思维飞跃【例43】满足ab a b 1的整数对(a，b)共有多少个？【例44】求x 2 y 4 x y的最小值作业1.已知a a，b0，化简：2a 4b(a 2b)242.a 2b4b 3 2a 32.化简：3x 2 2x 33.已知abc 0，abc0，化简：abc.abc4.已知a 0，ab0，化简：b a 1 a b55.数a、b在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a aab0.z.-6.化简：2 x 3x2x 5x7.化简：x 1 x 2 x 38.解方程：x 100 x 100 3009.解方程：x x 1 x 1 6.10.解方程：（1）3x 2 3x 6 8；（2）2x 3 x 1 4x 3.11.解不等式：|x 2|x 3|2.12.计算下列式子的的最小值.（1）x 1 x 2 x 3；（2）3 x 1 5 x 2 x 3；（3）x 2x 1 3x2 4x313.设a bc d，求x a x b x c x d的最小值.14.计算2x 1 5 x 63x的最小值15.已知y x 1 2 x 2 x 3，当x a时，y的最小值是b，求abba的值.z.