第5章矩阵的特征值与特征向量.pdf
第五章第五章矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法（一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念（一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念1.矩阵的特征值特征值与特征向量特征向量的概念设A是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量，使得使得A(0)成立成立，则称是矩阵A的特特征值征值，称非零向量是矩阵A属于特征值的特征向量特征向量，特征向量为非零向量非零向量2.矩阵的特征多项式特征多项式与特征方程特征方程的概念行列式f()E A称为矩阵A的特征多项式；E A=0 称为矩阵A的特征方程特征方程E A=0 是的n次方程，它的n个根就是矩阵A的n个特征值若是A的特征值，则E A=0，E A是不可逆矩阵不可逆矩阵Ax 0的基础解系就是的基础解系就是=0=0 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量若r(A)1，则A的n个特征值是1（二）特征值与特征向量的性质（二）特征值与特征向量的性质1.如果1，2都是特征值i所对应的特征向量特征向量，则1，2的线性组合线性组合k11k22（非零时）仍属于i的特征向量（i的特征向量不唯一特征向量不唯一，但一个特征向量只能属于只能属于一个特征值）2.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i时矩阵A的k重特征根重特征根时，矩阵A属于i的线性无关的特征向量的个数特征向量的个数不超过k个个；因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有aii，1.n 0n个，并且若1，2是矩阵A的不同特征值不同特征值，1，2分别是1，2的特证向量，则1，2的线性组合k11k22不再是不再是A的特证向量3.特征值的和等于矩阵主对特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和角线上元素之和，特征值的，特征值的乘积乘积等于等于A行列式的值行列式的值aii1i1nniii1Tni A4.n阶矩阵阶矩阵A和它的转置矩阵和它的转置矩阵A有相同的特征值有相同的特征值 用特征方程的转置去证明用特征方程的转置去证明5.n阶矩阵可逆的充要条件充要条件是它的任一特征值均不等于任一特征值均不等于 0 06.若是矩阵A的特征值特征值，则对任何正整数正整数k，是是A的特征值的特征值（三）特征值与特征向量的求法（三）特征值与特征向量的求法1对于抽象矩阵抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值A(0)2对于具体的数字矩阵数字矩阵，应先有特征方程E A=0，求出矩阵A的全部特征值，其中有可能重根其中有可能重根，然后然后对每个不同特征值对每个不同特征值i，分别解齐次方程iE Ax 0。设r(iE A)ri，如果求出方程组的基础解系（即矩阵A关于特征值i的线性无关的特征向量）1,2,.,nri，则矩阵A属于特征值i的全部特征向量kkk11k22.knrinri，其中k1，k2，.，knri是不全为 0 的任意常数二、相似矩阵的概念与性质二、相似矩阵的概念与性质（一）相似矩阵的概念（一）相似矩阵的概念1设设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵可逆矩阵P AP B，则称矩阵A与B相似相似，记为A B(二二)相似矩阵的性质相似矩阵的性质1.1.如如A BE A EB，从而A，B有相同的特征值相同的特征值aiibii（A，B有相同的迹有相同的迹）i1i1nnr(A)r(B)秩相同秩相同A Bnn1-1nn2.如A B，设P AP B，则P-1(A kE)P=B kE、AkE=BkE；P A P=B、A=BTT3.如A B，则A B-1-14.如A B，且A，B都可逆，则A B5.如A B，B C，则A C三、矩阵可相似对角化的充要条件及解题步骤（特征值与对角矩阵的关系）三、矩阵可相似对角化的充要条件及解题步骤（特征值与对角矩阵的关系）(一一)矩阵可相似对角化的概念矩阵可相似对角化的概念n阶矩阵阶矩阵A如果如果和对角矩阵和对角矩阵相似相似，则称A可以相似对角化，记成A ，并称是A的相似标准型相似标准型P1AP ，则则对角线上的元素都是对角线上的元素都是A的全部特征值，的全部特征值，P的每一列是对应的特征向量的每一列是对应的特征向量（二）矩阵可相似对角化的充要条件（二）矩阵可相似对角化的充要条件1.1.A与对角矩阵相似的与对角矩阵相似的充要条件充要条件 A （1）A有n个线性无关个线性无关的特征向量（2）对于矩阵A的每个ni重特征值i，其线性无关的特征向量的个数线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数特征值的重根数ni，亦即秩r(iE A)nni如果A ，且0是ni重特征根重特征根，则0应有ni个线性无关的特征向量，即齐次方程组(0E A)x 0的基基础解系础解系应含有nr(0E A)=ni个向量个向量，故可通过秩r(iE A)来判断A是否能对角化n列的数量（阶数）列的数量（阶数）r特征矩阵的秩特征矩阵的秩=ni重根的数量重根的数量或ni重特征值重特征值必有ni个线性无关线性无关的特征向量特征向量2.2.A与对角矩阵相似的充分条件与对角矩阵相似的充分条件（1）A有n个不同的特征值不同的特征值；（2）A是实对称矩阵实对称矩阵（一定能对角化）A (三三)相似对角化相似对角化A为对角矩阵为对角矩阵的解题步骤的解题步骤先求出A的的特征值特征值1，2，.，n再求所对应的线性无关线性无关的特征向量1，2，.，n12 1构造可逆矩阵可逆矩阵P 1，2，.，n，则PAP.n（四）（四）实对称矩阵的特性实对称矩阵的特性及用及用正交矩正交矩阵化阵化A为相似矩阵标准形的解题步骤（为相似矩阵标准形的解题步骤（要求要求P是正交矩阵是正交矩阵）1.1.实对称矩阵的特性实对称矩阵的特性P=P（1）实对称矩阵实对称矩阵必可对角化对角化（2）特征值特征值全是实数，特征向量特征向量都是实向量实向量（3）不同特征值的特征向量相互正交不同特征值的特征向量相互正交（4）ni重特征值必有ni个线性无关线性无关的特征向量特征向量，或者说必有秩r(iE A)nni2.2.用正交矩阵化实对称矩阵用正交矩阵化实对称矩阵A的解题步骤的解题步骤可用正交化变换正交化变换化实对称矩阵实对称矩阵A为相似标准形相似标准形，解题步骤类同（三），只是要保证P是正交矩阵正交矩阵，为此求出特征向量后因改造特征向量改造特征向量（1）当实对称矩阵A的特征值相互不同征值相互不同时，仅需要把特征向量单位化特征向量单位化就可用来构造矩阵P（2）当特征值有重根i时，要检查特征向量是否正交，否则必须对i的特征向量用施密特正交法施密特正交法处理，才能构造正交矩阵正交矩阵P（第三章，前提是线性无关，因为不同特征值的特征向量线性无关，（第三章，前提是线性无关，因为不同特征值的特征向量线性无关，记得单位化记得单位化）（注）掌握用正交变换化实对称矩阵为对角形的方法，经常与 二次型二次型联系在一起，仅实对称矩阵才能用正交仅实对称矩阵才能用正交变换化为对角形变换化为对角形-1T题型总结题型总结1.1.求矩阵的求矩阵的特征值特征值和和特征向量特征向量；2.2.n阶矩阵A能否相似对角化相似对角化的判定；3 求相似时可逆矩阵可逆矩阵P；4；求矩阵A中的参数参数；5.用特征值和特征向量特征值和特征向量反求A；6.相似对角化的应用求A；7，有关实对称矩阵实对称矩阵的问题；，都是n维列向量，A 的秩为 1；线性相关；行向量相关，秩向量线性相关；有特征值0（n-1 重）求A B的逆矩阵，要运用来过渡，求两次的可逆矩阵，再运算设矩阵A的特征值为a，b，c；则A kE的特征值为a k，b k，c knnAA nT设A是 3 阶矩阵，1，2，3是 3 维线性无关的列向量，且（应联想到矩阵P的特点）A1 414233A2 6123A30 4-60凑形式-4-10则A(1,2,3)(414231，6121，0)=(1,2,3)310设A是n阶矩阵，A E xy，x、y都是n维列向量，且y x 2，求A的特征值、特征向量2T令B=xy，B=2BA的特征值为 1n1重和 3；B (1,2,.n)；Bi 2i特征向量为1列向TT量（B xy(1,2,.n)）秩为 1，行向量相关，秩向量线性相关；有特征值为0；特征值 0 对应的特征向量为n1重TA A 0A(A E)0r(A)r(A E)n r(A)r(A E)r(A)r(E A)r(E)n这一章考逆矩阵的运算，要十分细心实对称矩阵的特征向量正交当已经知道矩阵特征向量的时候，运用定义代入求得特征值，求逆矩阵，运算求正交矩阵P，使得P AP 记得单位化A的特征值、特征向量与A、A的特征值、特征向量的关系Q是正交矩阵；QQT E；QT Q1；Q-1AQ QTAQ施密特正交化（前提条件是线性无关）施密特正交化（前提条件是线性无关）若若1,2,.,s线性无关线性无关，则可构造1,2,.,s使其两两正交，且i是1,2,.,s的线性组合，再把i单位化。记i*T-12i，则1,2,.,s是规范规范正交向量组正交向量组i(,)(,)(2,1)1；33311322(1,1)(1,1)(2,2)其中11；22-实对称矩阵B，已知特征值为-2，1,1；特征值-2 对应的特征向量为(1，-1,1)T；可以设特征值 1 的特征向量为(x1，x2,x3)Tx1-x2,x3 0不同特征值的特征向量正交；知道一个特征向量求其他特征向量设A是n阶正交矩阵，是A的实特征值，则TTATAAA2T是相应的特征向量，T因此 1设A、B均是n阶矩阵，则AB与AB具有相同的特征值AB000BAB00B0B0不等于 0设A、B均是n阶矩阵，且秩r(A)r(B)n，则A、B有公共的特征向量（第四章公共解相似）r(A)rr(A)sA的基础解系nrB的基础解系ns；nr+ns大于n；因此基础解系线性相关若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，所以A有n个线性无关的特征向量，从而A可以对角化，12.n；A是数量矩阵；线性表示；A(123)(123)112233因为1、2、3线性无关，因此123设A是 3 阶矩阵，且有3 个互相正交的特征向量，则P是正交向量，AT PP1对称矩阵已知A是 3 阶不可逆矩阵，-1 和 2 是A的特征值，B=A A 2E；因为A不可逆，所以还有特征值0，A能对角化，B也行，代入PBP即可当 21 223；A不该的就不要画蛇添足n12PPTTT A；A是 An21223；1、2、3是A的特征向量，观察形式，改化就化，已知A 0，A 0；A不能相似对角化，A n r(A)n222
