高考复数知识点精华总结.pdf
.复复数数1复数的概念：（1）虚数单位 i；（2）复数的代数形式 z=a+bi，(a,bR)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集整数有理数实 数(b 0)分数复 数 a bi(a,b R)小数)无理数(无限不循环虚数(a 0)虚数(b 0)纯虚数(a 0)非 纯3复数 a+bi(a,bR)由两部分组成，实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部，1 与 i分别是实数单位和虚数单位，当 b=0 时，a+bi 就是实数，当 b0 时，a+bi 是虚数，其中 a=0且 b0 时称为纯虚数。应特别注意，a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则 a+bi=0 是实数。4复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1z2=(a1a2)+(b1b2)i；（3）乘法：z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；z1(a1a2b1b2)(a2b1a1b2)i22zab222（4）除法：；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：ni(n 为整数)的周期性运算；(1i)2=2i；31 若=-2+2i，则3=1，1+2=0.5共轭复数与复数的模（1）若 z=a+bi，则z abi，zz为实数，zz为纯虚数(b0).22a b（2）复数 z=a+bi 的模|Z|=,且zz|z|=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d R，两个复数a+bi 和 c+di 相等规定为a ca 0b da+bi=c+di.由这个定义得到 a+bi=0b 0.2两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4复数 a+bi 的共轭复数是 abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将 i2=.下载可编辑.1 结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(abi)=a2+b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi0)的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即abi(abi)(cdi)acbd(bcad)icdi(cdi)(cdi)c2d2.7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例 1实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+(m1)i 中，因为 mR，所以 m+1，m1 都是实数，它们分别是 z 的实部和虚部，（1）m=1 时，z 是实数；（2）m1 时，z 是虚数；m1 0（3）当m1 0时，即 m=1 时，z 是纯虚数；m1 0（4）当m1 0时，即 m1 时，z 对应的点 Z 在第三象限。例 2已知(2x1)+i=y(3y)i，其中 x,yR，求 x,y.2x1 y5解：根据复数相等的意义，得方程组1(3 y)，得 x=2,y=4.2m23m22例 4当 m 为何实数时，复数 zm 25+(m2+3m10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法m23m10 02m 25 0，（1）z 为实数，则虚部 m2+3m10=0，即解得 m=2，m=2 时，z 为实数。m23m10 0m225 0（2）z 为虚数，则虚部 m2+3m100，即，2m23m2 02m 3m10 0m225 0解得 m2 且 m5.当 m2 且 m5 时，z 为虚数，11解得 m=2,当 m=2时，z 为纯虚数诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求例 5计算：ii2i3+i2005.解：此题主要考查 in 的周期性.下载可编辑.ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+(i1i+1)+(i1i+1)+i000+ii.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组例 8使不等式 m2(m23m)i(m24m3)i10 成立的实数 m .解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10,且虚数不能比较大小，m210|m|102m 3m 0m 0或 m 32m 3或 m 1m 4m3 0，解得，m=3.当 m3 时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。2xyilog2x8 (1log2y)i例 9已知 z=xyi(x，yR)，且，求 z解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法2xy8 0 x y 32xyilog2x8 (1log2y)ilog x 1log y2，2，xy 2，x 2 x 1y 1解得或y 2,z2i 或 z12i诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例 10已知 x 为纯虚数，y 是实数，且 2x1iy(3y)i，求 x、y 的值解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法设 xti(tR，且 t0），则 2x1iy(3y)i 可化为2ti1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，2t 1(3 y)551 y,y=1,t=2,x=2i.2复数的四则运算例 1计算：(1i)2n2(n1)（1）(1i)，nN+；33 i6 3 i61()()2222（2）若=+i，3=1，计算；（3）；（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99.(1i)2n(1i)2n2in2(1i)()(2i)(1)n12i2(n1)22i解：（1）(1i)=(1i).下载可编辑.(3 2i)(5 2i)(5 3i)2(2 3i)(2 5i).2in 2k 1,kN2in 2k,kN =.3 i6 3 i613i613i66()()(i)(i)i 6(2)62222（2）=2.32i5 2iii（3）由于2 3i,2 5i,(3 2i)(5 2i)(5 3i)2(2 3i)(2 5i)222|ii(5 3i)|(5 3i)|(53)=8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(97+98i99100i)=25(22i)=5050i.4例 2已知复数 z 满足|z2|=2，z+zR，求 z.解：设 z=x+yi,x,yR，则4z4(x yi)4x4y4 x yi2 x(y)i22222zzx yx yx yz+z=z+，4y4y22x yz z+R，=0，又|z2|=2,(x2)2+y2=4,联立解得，当 y=0 时,x=4 或 x=0(舍去 x=0,因此时 z=0)，x 1y 3,z=13,当 y0 时,综上所得 z1=4，z2=1+3i，z3=13i.1例 3设 z 为虚数，求证：z+z为实数的充要条件是|z|=1.证明：设 z=a+bi(a,bR，b0)，于是11abiab abi2(a)(b)i22222a ba ba b,z+z=(a+bi)+abi1b22所以 b0,(z+z)Rba b=0a2+b2=1|z|=1.z1例 4复数 z 满足(z+1)(z+1)=|z|2，且z1为纯虚数，求 z.解：设 z=x+yi(x,yR)，则1(z+1)(z+1)=|z|2+z+z+1=|z|2，z+z+1=0，z+z=1，x=2.下载可编辑.222z1(z 1)(z 1)|z|z z 1x y x yi x yi12|z 1|2|z 1|z1=(z 1)(z 1)=为纯虚数，33311 x2+y21=0,y=2,z=2+2i 或 z=22i.例 5复数 z 满足(1+2i)z+(310i)z=434i，求 z.解：设 z=x+yi(x,yR)，则(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi)=434i，整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i.4x12y 4x 48x2y 34,解得y 1,z=4+i.1例 6设 z 是虚数，=z+z是实数，且12，1 z（1）求|z|的值及 z 的实部的取值范围；（2）设 u=1 z，求证 u 为 纯虚数；（3）求u2 的最小值。解：（1）设 z=a+bi(a,bR,b0)，则ab(a2)(b)i222a ba b，由于是实数且 b0，a2+b2=1，=1即|z|=1，由=2a,10，则u2223=1，1当 a+1=a1,即 a=0 时，上式取等号，所以u2 的最小值为 1.i z例 7证明：i z1解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等设 zabi，(a,bR)，则i zi z=2(a1)13a1,.(i z)i zi z1i zi zi z解 2：i z i z i z，=.下载可编辑.a2(1b)2iabia(1b)i122iabia(1b)ia(1b)
