高中向量知识点归纳.pdf

向向一、平面向量的概念及线性运算一、平面向量的概念及线性运算量量1向量的有关概念名称向量零向量单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量定义既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度或称模长度为 0 0 的向量；其方向是任意的长度等于 1 个单位的向量方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小0 0 的相反向量为 0 00 与任一向量平行或共线备注平面向量是自由向量记作 0 0非零向量a a的单位向量为2.向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律1 交换律：a ab b加法求两个向量和的运算b ba a.2 结合律：a ab bc ca ab bc c求a a与b b的相反向量减法b b的和的运算叫做a a与b b的差法则三角形a ab ba ab b1|a a|a a|；2当0 时,a a的方向数乘求实数与向量a a的积的运算与a a的方向相同；当a aa a；a aa aa a；a ab ba ab b0 时,a a的方向与a a的方向相反；当0 时,a a03.共线向量定理向量aaaa0 与b b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得b ba a.二、平面向量基本定理及坐标表示二、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e e1、e e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a a,有且只有一对实数1、2,使a a1e e12e e2.其中,不共线的向量e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算1 向量加法、减法、数乘及向量的模设a ax1,y1,b bx2,y2,则a ab bx1x2,y1y2,a ab bx1x2,y1y2,a ax1,y1,|a a|.2 向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设Ax1,y1,Bx2,y2,则x2x1,y2y1,|.3平面向量共线的坐标表示设a ax1,y1,b bx2,y2,a ab bx1y2x2y10.三、平面向量的数量积三、平面向量的数量积1平面向量的数量积已知两个非零向量a a和b b,它们的夹角为,则数量|a a|b b|cos叫做a a和b b的数量积或内积,记作a ab b|a a|b b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a a与b b垂直的充要条件是abab0,两个非零向量a a与b b平行的充要条件是abab|a|b|a|b|.2平面向量数量积的几何意义数量积abab等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘积3平面向量数量积的重要性质1eaeaaeae|a a|cos；2 非零向量a a,b b,abababab0；3 当a a与b b同向时,abab|a|b|a|b|；当a a与b b反向时,abab|a|b|a|b|,aaaaa a2,|a a|；4cos；5|abab|_|a|b|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律1ababbaba交换律；2a ab bababa ab b为实数；3a ab bc cacacbcbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ax1,y1,b bx2,y2,则ababx1x2y1y2,由此得到1 若a ax,y,则|a a|2x2y2或|a a|.2 设Ax1,y1,Bx2,y2,则A、B两点间的距离|AB|.3 设两个非零向量a a,b b,a ax1,y1,b bx2,y2,则a ab bx1x2y1y20.