三角形与全等三角形经典习题及答案.pdf
三角形与全等三角形经典习题三角形与全等三角形经典习题及答案及答案全等三角形综合复习全等三角形综合复习切记：切记：“有三个角对应相等”和“有两边及“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定的两个三角形不一定全等。全等。例例1.1.如图，如图，A,F,E,B四点共线，四点共线，AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证：。求证：ACF BDE。例例 2.2.如图，在如图，在ABC中，中，BE是是ABCABC 的平分线，的平分线，AD BE，垂足为，垂足为D。求证：。求证：2 1C。例例 3.3.如图，如图，在在ABC中，中，AB BC，ABC 90。F为为AB延延长线上一点，点长线上一点，点E在在BC上，上，BE BF，连接，连接AE,EF和和CF。求证：求证：AE CF。例例 4.4.如图，如图，AB/CD，AD/BC，求证：，求证：AB CD。例例 5.5.如图，如图，AP,CP分别是分别是ABC外角外角MAC和和NCA的平的平分线，它们交于点分线，它们交于点P。求证：。求证：BP为为MBN的平分线。的平分线。例例 6.6.如图，如图，D是是ABC的边的边BC上的点，且上的点，且CD AB，ADBBAD，AE是是ABD的中线。求证：的中线。求证：AC 2AE。例例 7.7.如图，在如图，在ABC中，中，AB AC，12，P为为AD上上任意一点。求证：任意一点。求证：AB AC PB PC。全等三角形综合复习全等三角形综合复习7 7 月月 2222 日作业日作业一、选择题：一、选择题：1.1.能使两个直角三角形全等的条件是能使两个直角三角形全等的条件是()A.A.两直角边对应相等两直角边对应相等C.C.两锐角对应相等两锐角对应相等A.A.B.B.一锐角对应相等一锐角对应相等D.D.斜边相等斜边相等2.2.根据下列条件，能画出唯一根据下列条件，能画出唯一ABC的是的是()B.B.AB 4，BC 3，A 30AB 3，BC 4，CA 8C.C.C 60，B 45，AB 4D D.C 90，AB 63.3.如图，已知如图，已知1 2，AC AD，增加下列条件：，增加下列条件：AB AE；BC ED；C D；B E。其中能使。其中能使ABC AED的条件有的条件有()A.4A.4 个个B.3B.3 个个C.2C.2 个个D.1D.1 个个4.4.如图，如图，1 2，C D，AC,BD交于交于E点，下列不正确的是点，下列不正确的是()DAE CBEC.C.DEA不全等于不全等于CBEA.A.CE DED.D.EAB是等腰三角形是等腰三角形B.B.5.5.如图，已知如图，已知AB CD，BC AD，B 23，则，则D等于等于()A.A.67B.B.46C.C.23D.D.无法确定无法确定二、填空题：二、填空题：C 90，6.6.如图，如图，在在ABC中，中，且且CD:AD 2:3，ABC的平分线的平分线BD交交AC于点于点D，AC 10cm，则点，则点D到到AB的距离等于的距离等于_cm；AB DC，AD BCBD上上 的的 两两 点点，且且BE DF，若若AEB 100，ADB 30，则，则BCF _；7.7.如如图图，已已知知，E,F是是8.8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则为折痕，则CBD的大小为的大小为_；9.9.如图，在等腰如图，在等腰RtABC中，中，C 90，AC BC，AD平分平分BAC交交BC于于D，DE AB于于E，若，若AB 10，则，则BDE的周长等于的周长等于_；10.10.如图，如图，点点D,E,F,B在同一条直线上，在同一条直线上，AB/CD，AE/CF，且且AE CF，若若BD 10，BF 2，则，则EF _；三、解答题：三、解答题：11.11.如图，如图，ABC为等边三角形，为等边三角形，点点M,N分别在分别在BC,AC上，上，且且BM交于交于Q点。求点。求AQN的度数。的度数。CN，AM与与BN12.12.如图，如图，ACB 90，AC BC，D为为AB上一点，上一点，AE CD，BF延长线于延长线于F点。求证：点。求证：BFCD，交交CDCE。答案答案例例 1.1.思路分析：思路分析：从结论从结论ACF BDE入手，全等条入手，全等条件件只只有有AC BD；由由AE BF两两边边同同时时减减去去EF得得到到AF BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是条件，可以是CF DE，也可以是，也可以是AB。由条件由条件AC CE，BD DF可得可得ACE BDF 90，再加，再加上上AE BF，AC BD，可以证明，可以证明ACE BDF，从而得到，从而得到AB。解答过程：解答过程：AC CEACE BDF 90，BD DF在在RtACE与与RtBDF中中AE BFAC BDRtACE RtBDF(HL)(HL)A BAE BFAE EF BF EF，即，即AF BE在在ACF与与BDE中中AF BEA BAC BD(SAS)(SAS)解题后的思考：解题后的思考：本题的分析方法实际上是本题的分析方法实际上是“两“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；看还需要什么条件；另一方面从条件入手，另一方面从条件入手，看可看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”结论”之间是否吻合或具有明显的联系，之间是否吻合或具有明显的联系，从而得从而得出解题思路。出解题思路。小结：小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。题目，得出解题思路。例例 2.2.思路分析：思路分析：直接证明直接证明2 1C比较困难，比较困难，我们可以间接证明，即找到我们可以间接证明，即找到，证明，证明2 且且 1C。也可以看成将。也可以看成将2“转移”到“转移”到。那么那么在哪里呢？角的对称性提示我们将在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交延长交BC于于F，则构造了，则构造了FBDFBD，可以通过证，可以通过证明三角形全等来证明明三角形全等来证明2=2=DFBDFB，可以由三角形可以由三角形外角定理得外角定理得DFB=DFB=1+1+C C。解答过程：解答过程：延长延长AD交交BC于于F在在ABD与与FBD中中ACF BDEABD FBDBD BDADB FDB 90ABD FBD(ASA(ASA2DFB又又DFB 1C2 1C。解题后的思考：解题后的思考：由于角是轴对称图形，由于角是轴对称图形，所以我所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例例 3.3.思路分析：思路分析：可以利用全等三角形来证明可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段以线段AE为边的为边的ABE绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90到到CBF的位置，而线段的位置，而线段CF正好是正好是CBF的边，故只要证明的边，故只要证明它们全等即可。它们全等即可。解答过程：解答过程：ABC 90，F为为AB延长线上一点延长线上一点ABC CBF 90在在ABE与与CBF中中AB BCABC CBFBE BFABE CBF(SAS)(SAS)AE CF。解题后的思考：解题后的思考：利用旋转的观点，利用旋转的观点，不但有利于不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。角。小结：小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。等三角形。例例 4.4.思路分析：思路分析：关于四边形我们知之甚少，关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为可以把原问题转化为全等三角形的问题。全等三角形的问题。解答过程：解答过程：连接连接ACAB/CD，AD/BC12，3 4在在ABC与与CDA中中1 2AC CA4 3(ASA)(ASA)ABC CDAAB CD。解题后的思考：解题后的思考：连接四边形的对角线，连接四边形的对角线，是构造是构造全等三角形的常用方法。全等三角形的常用方法。例例 5.5.思路分析：思路分析：要证明要证明“BP为为MBN的平分线”的平分线”，可以利用点可以利用点P到到BM,BN的距离相等来证明，的距离相等来证明，故应过故应过点点P向向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条作垂线；另一方面，为了利用已知条件“件“AP,CP分别是分别是MAC和和NCA的平分线”的平分线”，也需要作，也需要作出点出点P到两外角两边的距离。到两外角两边的距离。解答过程：解答过程：过过P作作PD BM于于D，PE AC于于E，PF BN于于FAP平分平分MAC，PD BM于于D，PE AC于于EPD PECP平分平分NCA，PE AC于于E，PF BN于于FPE PFPD PE，PE PFPD PFPD PF，且，且PD BM于于D，PF BN于于FBP为为MBN的平分线。的平分线。解题后的思考：解题后的思考：题目已知中有角平分线的条题目已知中有角平分线的条件，件，或者有要证明角平分线的结论时，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线利用角平分线的性质或判定来解答问题。的性质或判定来解答问题。例例 6.6.思路分析：思路分析：要证明“要证明“AC 2AE”，不妨构造，不妨构造出一条等于出一条等于2AE的线段，然后证其等于的线段，然后证其等于AC。因此，。因此，延长延长AE至至F，使，使EF AE。解答过程：解答过程：延长延长AE至点至点F，使，使EF AE，连接，连接DF在在ABE与与FDE中中AE FEAEB FEDBE DEABE FDEB EDF(SAS)(SAS)，ADC BADBADF ADBEDF又又ADBBADADF ADC，AB CDDF DC在在ADF与与ADC中中AB DFAD ADADF ADCDF DCADF ADCAF AC(SAS)(SAS)法二：法二：延长延长AC至至M，使，使AM AB，连接，连接PM在在ABP与与AMP中中AB AM1 2AP AP(SAS)(SAS)ABP AMPPB PM在在PCM中，中，CM PM PCAB AC PB PC。解题后的思考：解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和当已知或求证中涉及线段的和或差时，或差时，一般采用一般采用“截长补短”“截长补短”法。法。具体作法是：具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段；或者将一条较短线段延长，延长，使其等于另外的较短线段，使其等于另外的较短线段，然后证明这两然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作本题组总结了本章中常用辅助线的作法，法，以后随着学习的深入还要继续总结。以后随着学习的深入还要继续总结。我们不我们不光要总结辅助线的作法，光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案同步练习的答案一、选择题：一、选择题：1.A1.A2.C2.C3.B3.B5.C5.C二、填空题：二、填空题：6.46.47.7.708.8.9010.610.6三、解答题：三、解答题：11.11.解：解：ABC为等边三角形为等边三角形AB BC，ABC C 60在在ABM与与BCN中中AB BCABC CBM CNABM BCN(SAS)(SAS)NBC BAMAQN ABQ BAM ABQ NBC 60。12.12.证明：证明：AE CD，BF CDF AEC 90ACE CAE 90ACB 90ACE BCF 90CAE BCF在在ACE与与CBF中中F AECCAE BCFAC BCACE CBFBF CE。(AAS)(AAS)4.C4.C9.109.10
