一元二次方程知识点总结及习题.pdf
【基础知识巩固】【基础知识巩固】知识点知识点 1.1.一元二次方程概念一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程。1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x2-x-3=0.(2)y2-y=0.(3)t2=0.(4)x3-x2=1.(5)x2-2y-1=0.414(6)-3=0.(7)x23x=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x2-+6=0.x2(10)3x2=x4-3.2、判断下列方程是否为一元二次方程：(1).x2 x 1(2).x21(3).x 1x(4).x23x2y 0(5).x23(x1)(x2)(6).ax2bxc 0(7).mx2 0(m为不等于0的常数)3、下列方程中，关于x的一元二次方程是（A）3x12 2x1（B）1x21x2 0（C）ax2bxc 0（D）x22x x214、下列方程中，不是一元二次方程的是（A）2x2+7=0（B）2x2+23x+1=0（C）5x2+1x+4=0（D）3x2+(1+x)+1=05、若关于x的方程a(x1)2=2x22 是一元二次方程，则a的值是（A）2（B）2（C）0（D）不等于 26、已知关于x的方程m 1x2n23x p 0，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a。7、已知关于x的方程m2xm22 xm 0：（1）m 为何值时方程为一元一次方程；（2）m 为何值时方程为一元二次方程。1）x）知识点二知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：ax2bxc 0a 0，其中ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫2一次项系数，c是常数项。特别警示：（1）“a 0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)x210 x9000(2)5x210 x2.2 0(3)2x215 0(4)x23x 02(x2)3 (6)(x 3)(x 3)0(5)2、关于x的方程ax 3x2 0是一元二次方程，则（）（A）a 0（B）a 0（C）a 1（D）a 03、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1)4x3 5x；(2)2x283xx122224、方程（m1）xmx50 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（）（A）m1（B）m0（C）|m|1（D）m15、关于x的方程3x 2x 6 0中a是；b是；c是。6、方程3x 2x 53x 2x 5 49的一般形式为。227、方程(m-5)(m-3)xm2+(m-3)x+5=0 中，当 m 为何值时，此方程为一元二次方程知识点三知识点三.一元二次方程的解一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。1、已知方程3x 9xm0的一个根是 1，则 m 的值是。2、已知x 1是一元二次方程x 2mx1 0的一个解，则 m 的值是（）（A）1（B）0（C）0 或 1（D）a 03、若x 1是一元二次方程ax bx2 0的一个根，则ab。222b b2 4ac4、实数是方程的根（）2a1（A）ax bx c 0（B）ax bxc 022（C）ax bxc 0（D）ax bxc 0225、设a是一元二次方程x 5x 0的较大根，b是x 3x 2 0较小根，那么a b的值是（）（A）-4（B）-3（C）1（D）26、已知关于x的一元二次方程x kx20的一个解与方程（1）求k的值；（2）求方程x kx20的另一个解。7、设x1,x2是关于x的一元二次方程x pxq 0的两个根，x11,x21是关于x的一元二次方程x qx p 0的两个根，则p,q的值分别等于多少22222x1 3的解相同。x12知识点四知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：2（1）直接开平方法：如果x kk 0，则x k.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x a是 b 的平方根，当b 0时，x a b，x a b，当 b0 时，方程没有实数根。（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；配方法的理论根据是完全平方公式a 2ab b (a b)，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有222x2 2bx b2(x b)2。1配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式bb24ac2（3）公式法：一元二次方程ax bxc 0a 0的求根公式是x b 4ac 0；2a2公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。（4）因式分解法：如果xaxb 0则x1 a,x2 b。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。1、方程x 250的解是：（）（A）x1 x2 5（B）x1 x2 25（C）x1 5,x2 5（D）x1 25,x2 252、方程x 2x 0的解是：（）（A）x1 x21（B）x1 1,x2 3（C）x1 2,x2 0（D）x1 2,x2 03、方程225 1 x2 15 x的较简便的解法应选用。4、解下列方程：（1）x 33x1（2）2x x3 0（3）x 2x3 02225开平方法解下列方程：5x2125 0169(x 3)2 289y2361 012(3x 1)2 8(13)m 026配方法解方程：x2 2x 5 07公式法解下列方程：3x2 6x 29n2 5n 28因式分解法解下列方程：14x29 07x221x 05y2 5y 1 02y2 4y 3p2 3 2 3p7y211yx 2 (x 2)(2x 1)3y2 4y 45 08x210 x 3 06x23 3x 2 2x 6(x 5)2 2(x 5)11(x23x)2 2(x23)8 09用适当方法解下列方程：2(2x 7)21286x(x 2)(x 2)(x 3)81(2x 5)2144(x 3)210、解下列方程：2 3y22 3y2m m21 2(m2 2m)2y23y(3 2y)y(3y 1)3231x 1231x 1(x 3)22x 5221m3y2 6y 2y 2x m2 3x 3222x2 x 1 x2 x 2 12x2 x3 3 0mx24m 1x 4m 2 0知识点五知识点五.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式2对于一元二次方程ax bxc 0a 0的根的判别式是b 4ac：2（1）当b 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 4ac 0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 4ac 0时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有b 4ac 0。122221、已知方程x 3xk 0有两个不相等的实数根，则k=。2、关于x的一元二次方程kx 2x10两个不相等的实数根，则k 的取值围是（）（A）k 1（B）k 1（C）k 0（D）k 1且k 03、在下列方程中，有实数根 的是（）（A）x 3x10（B）4x1 1（C）x 2x3 0（D）22222x1x1x14、当 m 满足何条件时，方程mx 2m 1x 9m 1 0有两个不相等实根有两个相等实根有实根5、关于x的方程mx 2m 2x m 5 0无实根，试解关于x的方程m 5x 2m 2x m 0。226、已知关于x的一元二次方程x 4m1x2m10，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数2根。7、将一条长 20m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少（2）两个正方形的面积之和可能等于12 平方米吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。1知识点六知识点六.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc 0a 0的两个实数根为x1,x2，则x1 x2 温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。22bc（韦达定理）,x1x2。aa1、关于x的一元二次方程x kx4k 30的两个实数根分别是x1,x2，且满足x1 x2 x1x2，则 k 的值为：（）（A）1或33（B）1（C）（D）不存在44222、已知,是关于x的一元二次方程x 2m3xm 0的两个不相等的实数根，且满足的值是（）（A）3 或-1（B）3（C）1（D）-3 或 1211 1，则 m3、关于x的一元二次方程2x 2x3m10有两个实数根x1,x2，且x1x2 x1 x24，则 m 的取值围是（）（A）m 251551（B）m（C）m （D）m 3233224、方程x 3x60与方程x 6x30的所有根的乘积是5、两个不相等的实数 m,n 满足m 6m 4,n 6n 4，则 mn 的值为。6、设x1,x2是关于x的方程x7、已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于x的一元二次方程x 2k 3xk 3k 20的两个实数根，第三边22222m1xm0m0的两个根，且满足112，求 m 的值。x1x23BC 的长为 5，问：k 取何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形1知识点七知识点七.一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16 元，则该玩具平均每次降价的百分率是。2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。3、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm 的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。34、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少5、一根长22cm的铁丝2（1）能否围成面积是30cm 的矩形2（2）能否围成面积是 32 cm 的矩形并说明理由16、西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3 元/千克的价格出售，每天可售出200 千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价元/千克，每天可多售出 40 千克，另外，每天的房租等固定成本共 24 元，该经营户要想每天盈利200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元7、在矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=3cm。点P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点Q 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动。如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）。那么，当t 为何值时，2QAP 的面积等于 2cmAPDQBC1
