角平分线的性质定理及其逆定理.pdf
.角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理一、一、根底概念根底概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规证明步骤。1 1角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AASAAS推导过程：推导过程：OC 平分MON，P 是 OC 上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点 A、点 B求证：PAPB证明：PAOM，PBONPAOPBO90OC 平分MON12在PAO 和PBO 中，PAOPBOPAPB几何表达：几何表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等如下图，OP 平分MON12，PAOM，PBON，PAPB2 2角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程推导过程：点 P 是MON 一点，PAOM 于 A，PBON 于 B，且 PAPB求证：点 P 在MON 的平分线上证明：连结 OP在 RtPAO 和 RtPBO 中，RtPAORtPBOHL12OP 平分MON即点 P 在MON 的平分线上几何表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 如下图，PAOM，PBON，PAPB12OP 平分MON3 3角平分线性质及判定的应用角平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米在以下图中标出工厂的位置，并说明理由4 4角平分线的尺规作图角平分线的尺规作图活动三：观察与思考：活动三：观察与思考：尺规作角的平分线尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图如图)，思考这种作法的依据。，思考这种作法的依据。.步骤一：以点 O 为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于 A，B 两点。由作图可知：OA =OB步骤二：分别以点 A，B 为圆心，以固定长(大于 AB 长的一半)为半径画弧，两弧交于点 C。由作图可知：AC =BC步骤三：作射线 OC，则 OC 就是AOB 的平分线。由作图可知：定理，可得同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。二、二、【典型例题】【典型例题】例例 1.1.：如下图，CC90，ACAC求证：1ABCABC；2BCBC要求：不用三角形全等判定 例例 2.2.如下图，ABC 中，PEAB 交 BC 于 E，PFAC 交 BC 于 F，P 是 AD 上一点，且D 点到 PE的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC，并说明理由例例 3.3.如下图，ABC 的角平分线 BM，相交于点 P，则 AP 能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？例例 4 4.如下图的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为*轴、y 轴建立平面直角坐标系1学校距铁路的距离是多少？2请写出学校所在位置的坐标例例 5.5.如下图，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长？假设能，请作出点 E，并给出证明；假设不能，请说明理由练习一练习一一、填空题：1.如图 1-31，ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分ABC交AD于E,EFAB,则AB=，BF=；2.：如图 1-32，在 RtABC中，C=90,AC=BC,BD平分ABC交AC于D,DEAB于E，假设BC=5,则DEC的周长为.二、选择题：AC1.如图 1-33，ABC中，B=42,ADBC于D，E是FDBD上一点，EFAB于F，假设ED=EF,则AECE的 度 数 为；ABCBDEA.60 B.62AC.64D.图1-31图1-3266F2.给出以下命题：BC 垂直于同一条直线的两直线平行；ED 角平分线上的点到角两边的距离相等；图1-33 三角形的三条角平分线相交于一点；全等三角形的面积相等；其中原命题和逆命题都是真命题的共有.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个三、解答题：如图 1-34，：ABC中，BAC=90,ADBC于D，AE平分DAC，EFBC交AC于F，连接BF.求证：BF是ABC的平分线.A【综合练习】【综合练习】F：如图 1-35，ABC中，AB=2AC,AD平分BAC，且AD=BD.求证：DCABCAC.DE例题答案例题答案图1-34BC例例 1.1.：如下图，CC90，ACACD求证：1ABCABC；图1-352BCBC要求：不用三角形全等判定 证明证明：1CC90，ACBC，ACBC垂直的定义 又ACAC，点 A 在CBC的角平分线上到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ABCABC2CC，ABCABC，180CABC180CABC 三角形角和定理 即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC角平分线上的点到这个角两边的距离相等 例例 2.2.如下图，ABC 中，PEAB 交 BC 于 E，PFAC 交 BC 于 F，P 是 AD 上一点，且 D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC，并说明理由解解：AD 平分BACD 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，点 D 在EPF 的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD 平分BAC例例 3.3.如下图，ABC 的角平分线 BM，相交于点 P，则 AP 能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？解解：AP 平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点 P 分别作 BC，AC，AB 的垂线，垂足分别是 E、F、DBM 是ABC 的角平分线且点 P 在 BM 上，PDPE角平分线上的点到角的两边的距离相等 同理 PFPE，PDPFAP 平分BAC到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 例例 4 4.如下图的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为*轴、y 轴建立平面直角坐标系1学校距铁路的距离是多少？2请写出学校所在位置的坐标解解：1点 P 在公路与铁路所夹角的平分线上，点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点 P 到公路的距离是 400m，.点 P学校到铁路的距离是 400m2学校所在位置的坐标是400，400 评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例例 5.5.如下图，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长？假设能，请作出点 E，并给出证明；假设不能，请说明理由解：能过点 D 作 DEAB 于 E，则BDE 的周长等于 AB 的长理由如下：AD 平分CAB，DCAC，DEAB，DCDE在 RtACD 和 RtAED 中，RtACDRtAEDHL ACAE又ACBC，AEBCBDE 的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB1.4角平分线练习一【根底练习】一、1.AC,BD；2.52.二、1.D；2.A.三、提示：证AF=EF.【综合练习】提示：作DEAB,证ADCADE.
