2018年高考文科数学全国卷2及答案解析.pdf

-题-绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试在文科数学无-本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。此注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形效码准确粘贴在条形码区域内。-2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。卷3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域-书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改上-液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）答1i(2+3i)-A32iB3 2iC32iD3 2i2已知集合A 1,3,5,7，B 2,3,4,5则AB A3B5C3,5D1,2,3,4,5,73函数)exexf(xx2的图象大致为4已知向量a a，b b满足|a a|1，a ab b 1，则a a(2a a b b)A4B3C2D05从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中 2 人都是女同学的概率为A0.6B0.5C0.4D0.36双曲线x2y2a2b21(a 0,b 0)的离心率为3，则其渐近线方程为Ay 2xBy 3xCy 22xDy 32x7在ABC中，cosC525，BC 1，AC 5，则ABA4 2B30C29D2 58为计算S 11213141199100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入Ai i 1Bi i 2Ci i 3Di i 49在长方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A22B32C52D7210若f(x)cosx sin x在0,a是减函数，则a的最大值是A4B2C34D11已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1 PF2，且PF2F1 60，则C的离心率为A132B2 3C3 12D3 112已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1 x)f(1 x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)A50B0C2D50二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13曲线y 2ln x在点(1,0)处的切线方程为_x 2y 50,14若x,y满足约束条件x 2y 30,则z x y的最大值为x 50,_15已知tan 5415，则tan _16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）18（12 分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值a1 7，S3 15为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：y 30.413.5t；根据 2010年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建立模型：y 9917.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由19（12 分）如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC 2MB，求点C到平面POM的距离20（12 分）PAOCBM设抛物线C：y2 4x的焦点为F，过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程21（12 分）已知函数f(x)13x3a(x2 x 1)（1）若a 3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在此卷上答在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 2cos,y 4sin,（为参数），直线l的参数方程为x 1tcos,y 2tsin,（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数f(x)5|x a|x 2|（1）当a 1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求a的取值范围绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】i23i 2i 32.【答案】C【解析】因为A 1,3,5,7,B 2,3,4,5,故AB 3,53.【答案】B【解析】fx fx,所以fx为奇函数,排除 A,又x ,exex,x2.4.【答案】B【解析】a（2a-b）=2a2 ab 21 3.5.【答案】D【解析】记选中的2人都是女同学为事件A,则C2PA33C3.5106.【答案】A【解析】e 3 cb2c2a2a,a2a231 2,ba 2.7.【答案】A【解析】cosC255,cosC 2cos2C21 2151 35,AB21252215(35)26632,AB 4 2.8.【答案】B【解析】i 1时,N 011，T 012,i 2时,N 01113，T 01214,依次下去i i 2.9.【答案】C【解析】如图：取中点DD1中点为F,连接EF,则EFCDAE与CD所成的角即为AEF,在AEF中,AEF 90tanAEF AE5EF210.【答案】C【解析】fxcosxsinx 2cosx4,fx在0,a上单调递减,则a 34.a3max411.【答案】D【解析】设PF2 r,PF13r,F1F2 2r,又r 3r 2a,a 3 12r,2r 2c,c re ca3 112.【答案】C【解析】f1 x f1 x,y fx图象关于x 1对称,又是奇函数,fx是一个周期函数,且T 4;又f1 2,fx f2 x,f2 f0 0,f3 f1 f1 2,f4 f0 0,f1 2,f2 0,f3 2,f4 0,f1 f2 f50 f1 f2 2二、填空题13.【答案】y 2x2【解析】y 2lnx,y2xyx1 2在点0,0处的切线方程为：y 2x 1 2x 2.14.【答案】9【解析】当z x y,过点C5,4时,z有最大值zmax 915.【答案】32【解析】tan511tan145,即tan451 tantan=3216.【答案】8【解析】SA SB SC l,SAC 30,AC 3l,AB 2l.S1ABC2l28,l 4,AC 4,r 2 3,h 4212 2V 13r2h 1312 28.三、解答题17.【答案】(1)an 2n 9(2)S2n n 8n (n4)216,最小值为16【解析】解：(1)设an的公差为d1由题意得3a13d?15.由a1 7得.所以an的通项公式为an 2n 9(2)由(1)得S2n n2 8n (n 4)16.所以当n 4时,Sn取得最小值,最小值为1618.【答案】(1)模型:y 30.413.519 226.1(亿元),模型:y 9917.59 256.5(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠.【解析】解：(1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 30.413.519 226.1(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 9917.59 256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.413.5t上下,这说明利用 2000 年至 2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 9917.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元,由模型得到的预测值亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.【答案】(1)见解析(2)4 55【解析】证明：(1)因为APCP AC4,O为AC的中点,所以OP AC,且OP=2 3.连结OB.因为AB BC 22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OB AC,OB12AC 2.由OP2OB2 PB2知,OP OB.由OP OB,OP AC知PO 平面ABC.(2)作CH OM,垂足为H.又由(1)可得OP CH,所以CH 平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM 23BC=4 23,ACB 45.所以OM=2 53,CH=OCMCsinACBOM=4 55.所以点C到平面POM的距离为4 55.20.【答案】(1)y x 1(2)(x3)2(y 2)216或(x11)2(y 6)2144【解析】解：(1)由题意得F(1,0),l的方程为y k(x 1)(k 0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y k(x 1)，222 4x得k x(2k24)xk20y.216 0,故x2k2 16k 41 x2k2.所以AB AF BF (x4k2 411)(x21)k2.由题设知4k2 4k28,解得k 1(舍去),k 1.因此l的方程为y x 1(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2 (x3),即y x5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0 x05，x03，x0112(y20 x01)解得(x01)216.y0 2或，y0 6.因此所求圆的方程为(x3)2(y 2)216或(x11)2(y 6)2144.21.【答案】(1)fx的单调递增区间为,3 2 3,32 3,fx的单调递减区间为32 3,3 2 3(2)见解析【解析】解：(1)当a 3时,f(x)13x33x23x3,f(x)x26x 3.令f(x)0解得x 32 3或x 3 2 3.x 636126 4 3223 2 3或x 32 3时,f(x)0；32 3 x 32 3,f(x)0.fx的单调递增区间为,3 2 3,32 3,fx的单调递减区间为32 3,3 2 3(2)证明：由于x2 x1 0,所以f(x)0等价于x3x2 x 13a 0.设g(x)=x3x2(x2 2x 3)x2 x13a,则g(x)(x2 x 1)2 0,仅当x 0时g(x)0,所以g(x)在(,)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a 1)6a22a1113 6(a6)260,f(3a 1)13 0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.因为f(x)11(x2 x1)(x13a),x2 x1(x12)233340,所以f(13a)130,f(23a)(x2 x1)0.综上,f(x)只有一个零点.22.【答案】(1)当cos 0时,l的直角坐标方程为y tanx 2tan,当cos0时,l的直角坐标方程为x 1.(2)直线l的斜率k tan 2.【解析】解：(1)曲线2C的直角坐标方程为x24y161.当cos 0时,l的直角坐标方程为y tanx 2tan,当cos0时,l的直角坐标方程为x 1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t 80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1 t2 0.又由得tsin)1t2 4(2cos13cos2,故2cossin 0,于是直线l的斜率k tan 2.23.【答案】(1)f(x)0的解集为x|2 x 3.(2)a的取值范围是(,62,)2x4,x 【解析】解：(1)当a 1时,f(x)1,2,1 x 2,2x6,x 2.可得f(x)0的解集为x|2 x 3.(2)f(x)1等价于|x a|x2|4.而|x a|x2|a 2|,且当x 2时等号成立.故f(x)1等价于|a 2|4.由|a 2|4可得a 6或a 2,所以a的取值范围是(,62,).