拉普拉斯变换公式.pdf
附录附录 A A拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1.表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性齐次性线性定理叠加性叠加性2微分定理一般形式一般形式Laf(t)aF(s)L f1(t)f2(t)F1(s)F2(s)df(t)sF(s)f(0)dtd2f(t)L s2F(s)sf(0)f （0）2dtLndnf(t)nL s F(s)snkfndtk 1k 1df(t)f(k 1)(t)dtk 1(k 1)(0)初始条件为初始条件为 0 0 时时dnf(t)nL s F(s)dtnLf(t)dt 23积分定理一般形式F(s)f(t)dtt0ss2F(s)f(t)dtt0f(t)(dt)t0Lf(t)(dt)2ss2s共n个nF(s)1nLf(t)(dt)nnk1f(t)(dt)nt0sk1s共n个初始条件为 0 时F(s)Lf(t)(dt)n ns共n个4延迟定理（或称t域平移定理）L f(t T)1(t T)eTsF(s)5衰减定理衰减定理（或称s域平移定理）L f(t)eat F(s a)6终值定理终值定理7初值定理初值定理8卷积定理lim f(t)limsF(s)ts0lim f(t)limsF(s)t0sLf1(t)f2()d Lf1(t)f2(t)d F1(s)F2(s)00tt2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号拉氏变换 E(s)时间函数 e(t)(t)T(t)(t nT)n0Z 变换 E(z)1zz 1123456789101112131415111eTs1s1(t)zz 112s1s3tt22Tz(z 1)2T2z(z 1)2(z 1)31sn1tnn!(1)nnzlim()naTa0n!az ezz eaT1s aeat1(s a)2teatTzeaT(z eaT)2as(s a)1eat(1eaT)z(z 1)(z eaT)b a(s a)(s b)eatebtzzaTbTz ez ezsinT2z 2zcosT 1z(z cosT)z 2zcosT 12s222sintss22cost(s a)2eatsinteatzeaTsinTz2 2zeaTcosT e2aTz2 zeaTcosTz2 2zeaTcosT e2aTzz as a(s a)22cost1s(1/T)lnaat/T3 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式B(s)bmsmbm1sm1 b1s b0（n m）F(s)A(s)ansn an1sn1 a1s a0式中系数a0,a1,.,an1,an，b0,b1,bm1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。A(s)0无重根ncicncc1c2F(s)i（F-1）ss1ss2ssissni1s si这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。式中，s1,s2,按下式计算：,sn是特征方程 A(s)0 的根。ci为待定常数，称为 F(s)在si处的留数，可ci lim(s si)F(s)（F-2）ssi或（F-3）ciB(s)A(s)ssi式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数ncins tf(t)LF(s)Lcie(F-4)i1s sii111iA(s)0有重根设A(s)0有 r 重根s1，F(s)可写为FsB(s)r(ss1)(ssr1)(ssn)cicncrcr1c1cr1=(ss1)r(ss1)r1(ss1)ssr1ssis sn式中，s1为 F(s)的 r 重根，sr1，,sn为 F(s)的 n-r 个单根；其中，cr1，,cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr1，,c1则按下式计算：cr limss(s sr1)F(s)1cdr1 limds(s sr1)F(s)ss1c1j!limd(j)r jss(j)(s s1)rF(s)1dsc1d(r1)1(r 1)!limss(r1)(s sr1)F(s)1ds原函数f(t)为f(t)L1F(s)L1cr(s srcr1r1 c1cr1cicn1)(s s1)(s s1)s s r1s s is sncrtr1cr1tr2 c t cs1tnit(r 1)!(r 2)!21eciesir1(F-5)F-6）（
