上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案1.pdf

上海交通大学2005至2006第二学期线代数A 卷期末考试试题及答案线 性 代 数 试 卷(A 卷）姓名姓名学号学号得分得分题号题号得分得分一二三 20060621四总分一一 单项选择题单项选择题（每题 3 分,共 18 分）1已知矩阵a。当;c.当。2 已知,时，必有秩，且,则；b.当时，必有秩时，必有秩；d。当时,必有秩为 3 维列向量组，行列式，则行列,式a.6;b.6；c。18；d.18.3.设线性空间中向量组线性无关,则的下列生成子空间中，维数为 3 的生成子空间是a。L；c。L。；d。L;b。L4设是a.若b。若c.若d.若5.设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的线性相关，则线性相关,则线性无关，则线性无关，则为非零实矩阵，,线性无关；线性相关；线性无关；线性相关.是行列式中元素的代数余子式，则矩阵必为a.不可逆矩阵；b。对称矩阵；c.正交矩阵；d。正定矩阵。6 设为阶非奇异矩阵a。；c。，为的伴随矩阵，则；b.；d。二二 填空题填空题（每题 3 分，共 18 分）1。设 3 阶方阵为；有特征值，则的相似对角阵2。设为,矩阵，且，其中是非齐次线性方程组的通解的解，则线性方程组为；3。设实对称矩阵变换可化为标准形满足，则二次型经正交;4已知矩阵5 设 4 阶矩阵满足满足行列式，且，,则行列式，;，则其伴随矩阵必有一个特征值为；6 已知 4 阶矩阵的秩,则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量。二二 计算题计算题(每题 8 分，共 48 分）1已知 阶矩阵阵。且满足方程，其中，求矩2.已知非齐次线性方程组试求：常数3。求正交变换,其系数矩阵的秩的值，以及该方程组的通解。，将实二次型。是 4 维列向量，且，化为标准型,并写出正交变换4。设线性无关，试求线性方程组5.已知的通解。为 4 阶方阵，其中。已知向量是 3 维线性空间的一个基，且，的过渡矩阵，求在基;下的坐标。(1）求由基（2)设向量到基6。设列向量特征向量。(1)求常数是矩阵的对应特征值的一个;（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵?为什么?四四 证明题证明题（每题 8 分,共 16 分）1.已知矩阵（1）矩阵阵。2设阶方阵（1）可逆。参参 考考 答答 案案一一 选择题选择题c a d b c c二二 填空题填空题，其中的充要条件为是维列向量，证明:；（2）当时，矩阵不为阶正定矩阵，证明：的特征值都大于零；(2)若，则为正定矩1。三三 计算题计算题;2。;3.;4.；5.；6 3。1。2.，。3。正交变换，为.，化二次型为标准形4。，线性无关，5。(1），解得.；（2)6.（1）；。（2）不能，因为其特征值为-1，1,1；但线性无关的特征向量只有一个.四四 证明题证明题1。（1)又其中相同,故(2)2。（1）（2)由（1）得为可逆矩阵，为可逆矩阵。因此的特征值都大于零。为正定矩阵，相似于,的特征值与,实对称，且特征值大于零,所以正定，故的充要条件为，则，矛盾。；，若可逆，