量子力学期末考试题库含答案22套.docx

量子力学自测题（1）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？ （6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。（4分）4、证明'（无一型;）是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量瓦之间的测 不准关系。（6分）二、（15分）厄密算符与，满足T=广=1,且女方+加=0,求1、在A表象中算符4、分的矩阵表示；2、在B表象中算符4的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）设氢原子在，=。时处于状态（r,。） - - %（）Ko®。）_灭31 几（仇。）+）X-i （a。）1、/=。时氢原子的£、矛和二的取值几率和平均值；2、%。时体系的波函数，并给出此时体系的石、矛和。的取值几率 和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下o o Wo c哈密顿算符由下面的矩阵给出H= 023 0 + C 00 -2)10 00、0用微扰公式求能量这里，H = H + Hr, C是一个常数，C«l,至二级修正值，并与精确解相比拟。a2a- w；口W、dx + i/；fTy/dx0a2 a4% j.2万74k0、.2%7=xsin -xdx- (a-x)sm xdxa *aa a2 a2半，24 2k r(2= (x 1 - cosx dx-f(6Z -x) 1-cos。力 Ia )a ；I,22k a2 a2 a? Ji 2)6r 8 管8 J 2)六、解(1) 利用公式：X”4丹” + »/得至u“ “)二 |+1)+0="；"1 + 21 n( n、 ln-1*+ 2 "1-2 J( + D( + 2) +71、一x axz 7ln-)力_1)+丹冲卜-2)72)+ (2n +1)| ) + J( -l)|n-2E°)=Hb=M，HMj因此，(mx2 n) = LL乙al(n + l)(n + 2)(zn|n + 2 + (2n +1)(mn) + Jn(n -1)(rn - 2、 ， “-,2卜5 + 1)5 + 2)%”+2由此可见(2 %2 o)=+ (2n + l)mn +，小-1)用V2 _ 1_ti_2a1 72 mco将八2±3展开2土加=2±(1 +#+)3 + -C211-C2(3)比照可知,根据微扰=4=2 , 4= 2 ,公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。S 五、解：4-+口 =，. +口+0 +-1小、1八 一介喘一十°21= h+- 21 ./%+ +1( 2/22/_/5v +-U- y 2/ 2所以S+和s-分别作用于Sz的本征态工一心)=方2/22/2+%(-ih)+%。的结果是结果说明：称S+为自旋升算符是合理的，因为它将Z方向的自旋从一力/2增加到 力分。同样，称S.为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从力/2降到一力/2。鼠和S-容许我们从'的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非 常有用的。量子力学自测题（18）姓名：学号：题号-四五六习题总分成绩一.（10分）假设$是电子的自旋算符，求SXSZ SxSySx=?a. SxS = ?二.（12分）假设有已归一化的三个态，和|y）,且有aj3 = fla） = 0.337二例。=。.2 ,3%.网=0.8试用Schmidt方法构成正交,归一的新的态矢量和三.（16分）算符3=©一瓦。/%一瓦°/%不必15。/方是电子自旋 算符Sz经幺正变换而得。试求出它的本征值和相应的本征矢 在§z表象中的表示。2乃x < b、2%x > b四.（18分）在t=0时，自由粒子波函数为/b/2 sin bx%x,o) = 0a.给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b.求出几率最大的动量值；c.求出发现粒子在方b-0b + dpx区间中的几率；d. "x,t） = ?（积分形式即可）。五.（18分）三个自旋为:的全同粒子，在一维位势12222V（xi，X2，X3）=m6） （X1 +x2 +x3）中运动，a.给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应 的本征矢；（谐振子波函数以Un（x）表示）；b.它们的简并度分别是多少？六.（16分）质量为m的粒子处于位势z x 0 0 < x < a,0 < y < a和0 < z < a丫二 鼠中。假设它又经受微扰H = bxy,试求第一激发态能量的一 级修正。量子力学自测题（18）参考答案(10 分)或sz -szsy )sx = i()5力2 1T2(Syb. SXS = 1b. SXS = 1(svsz -szsv) + j(szsx sxsz) + k(sxsv -svsx) = is JJJJ二.(12 分)(a|a) = 1二.(12 分)(a|a) = 1 a') = | a)|. = N(|p)-| a(a 电)=N(|p)-0.3|a)串慨=1 = M (串| _ 0.3(a |)(|p) 0.3| a) = N2(l- 0.32 2 + 0.32)N = =,VoiN = =,Voi心=焉他一 °3)甲=阳丫-0加-|町&琳)(Y1 y) = 1 = N 2 (曲)_ 0.2(yy)( Y0.2(a | y) + 0.2 . 0.2YMyXyM+FIyXyIB)电加焉加。*怯曙N2-(l-0.22-0.7420.91一 °.”十°.22)= N2 鬻=1，N = 1.67力H. (16 分)§z|m) = m m)2sn|m/ = e 一段(P/%，/飞不鸟0/勾&宿m)'一於押/力©-於声/力一於押/力©-於声/力m), 那么 8n|m) = m|m2力6分 它的本征值为土一2相应的本征值在用表象中的表示iav sin) m)y 2'(mm) = mz|(cos-iaz sin)(cos(m (coscosiav cossinimsin cos + iov sinsin m)x 122 y 222222=(m'c吟c七一 im S呜）+ S吟2 _疗卬20=cose2干 iq>/2+ sm-(±)e±i(P/2Sm'=m=±l2cose益本征值为力/2,本征表示为2 ° i(p 2 sine w2).。- i(p/2、-sine +一力/2,本征表示为2 e cos-e2四.（18分）eibx -e-ibxdx2k 2idxa. 9p 1 2fe-iPxx/.Px不注bi(bx-pxx) 7? _e-i(bx+pxx/z)47ii h i(b-Px %)2K/b i(b-Px/%)X一2 兀/b2n/be-i(b+px/?)xi(b + Px/力)一2研1 z , . 、12/. 2tcPx2%b= (/2b)12(+2i)sin-一?4冗力b (力b)2-p：该态中粒子动量可能测得值为-8<Px<85 分 b. £ =。= & Sil?浊 _-L-dPxdPx力b (力b/- p：2,&0S 汕+ sii>23 X号=Ab 力b力b (力b)2-p：、2212兀PxPx%b . 2kpx A(力b) -p：cos- + sin = 0力b兀力b/.有解 px = ±%bc.<p(PxLb,271cos 孙1力b)3/2她地九一 2Px发现粒子在力b 力b + dp x区间中的几率为lb)l2dpx=±dp4分五.（18分）d. g(x,t) = (pg)21iPx/J 詈 t/%五 e2m dp (如为严a. 2 分 8n = (n + )/z0,7E=一力(D1 2基态 11。 2 , ii 11V01=7Iu0(l)a(l) u0(2)a(2) uo(l)p(l) u0(2)P(2) Uid)P(l) 111(2)0(2)u0(3)a(3)uo (3)0(3)Ui (3)3(3)= ±110 Uo(2)%oo(12)iii a -Uo Ho %oo(13)w(2)a(2)+ uo ii。00(23)% a i 分W02 = *Eo%(2)%00(12)叫(3)|3(3)-Uo(1)uo(3)xoo(13)u1(2)P(2)+ uo(2)uo(3)xoo(23)u1(l)p(l)第一激发态n0 = 2 , n2 = 12 分 Vi i = -u0(l)u0(2)x00(12)u2(3)a(3)-uo(l)uo(3)XooO3)u2(2)a(2)+110 Uo(3)%oo(23)U2 a 1 分 V12 = -uo(l)uo(2)xoo(12)u2(3)p(3)-uo(l)uo(3)xoo(13)u2(2)p(2)+ uo(2)uo(3)Xoo(23)u1(l)p(l)2分W3 =£皿叫斌与姬)-u1(l)u1(3)xooa3)uo(2)a(2)+ ui (2)%oo(23)uo a 1 分 Vi4 = |ui(l)u1(2)xoo(12)uo(3)p(3)-u1(1)u1(3)%oo(13)uo(2)P(2)+ u1(2)u1(3)xoo(23)uo(l)p(l)b. 4分基态二重简并第一激发态四重简并六.(16分)2方23分 粒子的能量为二一-(n1+n +n1)2ma2第一激发态为1 12 1 2 1 2 1 10 兀2方23兀2方2Ei =-(1 + 1 + 4) =,2maTta八 /z 2 3/2 九兀. 27c5 分 任 1) = (-) sinxsiny smz(r 2)= ()3 2 sin a a(r 2)= ()3 2 sin a a. 2冗 .冗 xsinysinz a a/ /2、3 2 . 2兀.7C 九(r 3) = (一) sinxsmysinz a a a axsin81/ ibaE1 xdx-Jysin2 ydyfxsm2-xdx = o aa21国1)= (2)2.彳 1 a 4a2b = - ba24a|H2)=l|H13)= 0(2h 2)= ()2bjxsin2 xdx-Jysin2 a 0 a 0 aydy = -ba24)- a (2|Hr|3)= (-)2bJ.九 xsmxsma27cr27c7Cxdx -Jysiny sinydy a0a8a24ba2-649k281k47 a(3|Hr|3)= (-)2bfxsin2a oxdx.Jysin2ydy = iba2 a 0 a 4-ba2-E 4于是有:-ba2-E 4644ba?81k644ba?E =iba2472 64 4ba1 .64-42 r 1 . z 4 42E73 =-ba ± = (-±-)ba =-±() ba2,3 481/,4 817C414解量子力学自测题(19)姓名学号题号IIIIIIIVV习题总分成绩I. （35分）回答以下问题：A.写出电子在外电磁场（cp, A）中的哈密顿量；B.反常塞曼效应的特点，引起的原因；C.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式；D.假设 O± = Ox 土 iby，求位；E.体系处于w（x,t）态，a.几率密度p（x,t） = ?；b.几率流密度j（X,t） = ?;c.证明：曳=旦。dt dxF.处于位势Jmfx2中的两个无相互作用的粒子，试分别给出 2它们的基态、第一激发态和第二激发态的能量和简并度，a）非全同粒子；b）自旋为;的全同粒子；C）自旋为。的全同粒子。II. （14分）用试探波函数-x /aW（x）=e ，估计一维谐振子基态能量和波函数。nr（16分）设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为百，它在仃o表象中的表示为F AE、Eo?A.求己的本征值和本征态;O试求出O试求出B.假设t = 0时，粒子处于如，它在口°表象中的表示为t>0时的粒子波函数;C.绘出粒子在（1）1态的几率随t的变化（以力/AE为单位）。IV. （15分）/ = 0时，氢原子处于基态毛oo = Rio（r）/访，后置于电 场E = （EoeT/T,O,O）中。求tfoo时，发现氢原子处于激发态 甲211 =R21（r）Yu（a<p）的跃迁几率（一级近似下）（径向矩阵元 不必具体计算出来；不计及电子的自旋）。（提示：I =（r佟（丫1一丫11），/但（旧+给），4国0）（10分）两个电子处于自旋单态，21和里分别表示两个电子的 Pauli算符。设a和b为空间任意给定的两个方向的单位矢量，求 关联系数c（g,b）,即301）（卜。2）的平均值。量子力学自测题（19）参考答案I .（35 分）A. H =（p + eA） + S-B- e（p（4 分）2mm 一(2)在一级近似下，体系从能级E。跃迁到En的跃迁振幅为,ia).,e ° dt其中，以0=:(纥_£°)。因此，从基态|o)跃迁振幅。20。20= 2(/孙产科出=(2 xthJo(2 x°)0(孙。一22"(2日0)(6(320-22)，_)ih ico2() - 2k访(沁)一 2k)经充分长时间后Q = 00),6Z9q t > 8)6Z9q t > 8)(2 xih io)?。一 2k因此，跃迁几率为2mle0? 4k2 +逅)12m2co24Z:2/22+(E2-Eo)212m2co24tl2k2 +4方 2 G2 Sm2cok2+co2)量子力学自测题3一、 简答题(每题5分，共40分)1 . 一粒子的波函数为b) = (x,y,z),写出粒子位于xx +公间的几率。2 .粒子在一维内势阱V(x) = 75(x)(/ > 0)中运动，波函数为“(X),写出'(x)的跃变条件。3 .量子力学中，体系的任意态“(X)可用一组力学量完全集的共同本征态()展开: = Z%(x)，写出展开式系数C 的表达式。B.碱金属原子能级偶数分裂（1分）光谱线偶数条（1分）分裂能级间距与能级有关（1分）由于电子具有自旋（1分）c.自=口0+白1，Hocpk =Ek（pk（2 分）Ef)=3k 氏 Wk), E?)= =(2 分)swk Hk -D. oj =(ctx + ioy )(ctx + ioy) = ctJ -Qy + i(axoy +Qyax) = 0(2 分)272o_ = (ox -iov)(CTx -iav) = Qx -i(CTxCTv +ctvctx) = 0(2 分)JJJJJ2E. p(X,t) = |(p(X9t)|(2 分)访 * dd *=<p (x,t) (p(x,t)-(p(x3) <p (x,t)2mdxdx（2分）dp 与,、卿（x,t） 前1212弁评）蜜端6vVv）i。a / * d d *、=布本或中一加中）*因丫 = V、dx（2分）F. a)基态 nx = n2 = 0力G）非简并第一H 0, n 2 = 1Hl = 1, i12 =。二重ri】=0, II2 = 2第二 < ii = 2, n£ = 0ni = 1, n2 = 13方co三重（1分）（1分）（2分）b） 基态 nx =n2 =0 %oo （总周旋为0）加o非简并 （1分）H =0,D =1,n2 = 1口2 = °ZooXlm（二态相加（二态相减四重（2分）11 = 0, H = 2, -1=1,112=2 ii = 0 n2 = 1XooXlmZoo（相加）（相减）五重（2分）c.基态 r>i = n2ho非简并（1分）第一%=0,ii = 1,（二态相加）非简并（1分）II. (14 分)H = 0,H = 2,叫=1,112 = 2ii = 0I>2 = 1（二态相加）二态简并（2分）00c ° cs归一化 A2( Je2x adx+fe-2x adx) = A2a = 1,00AVa（2分）EE一 2am00J e a00d rz r -()e dx a x00adx+ J001? 2m(o x e22 x|a dx-力22am100 ()f e a (25(x)e a a oo-e a )dx + -m02-aa22力22a2m(2-a) + -ma)2-aa 22（6分）（动能计算错扣3分）（6分）（动能计算错扣3分）方 212 2-+mo a2a2m 41 co1另一种求法 Eg= e ap?e adx + -m(D2a2(a) 2am x 42|x|x|1°?1 X *1X1 n 7= f (-i力e a )(一访e a )dx + -m(o2a22am _8 a xa x419 ?a dx +m® a4力 212 2-+m® a2a2m 4口，一方2 1242力 2E KT"a =-（3分）Emin = A2mm2a)2方2二中人匡4 m202（3分）V = -e-a, a2III. (16 分)m0（结果错扣3分）A.Eg AEAE Eq - E=0,，E± = Eq ± AEE+ = Eq + AE ,叫"灵（2分）E_ = Eq AE,（2分）B V(0)=1 1=a+u+ + a_u_ = & W + 忑 u（4分）C.几率J_|T-i(E0+AE)t/1GI_ p-iE()t/72-V=cos2 竺TicosAEt/h、-isinAEt/t = (1 + cos22AETi一i(E()+AE)t/力7（4分）t)（2分）（2分）n/23n/2tP100-211=1 00,刘Mu(ex%eF-%dt00（6分）00a2P2ry 0C= 2l(R21|rlR10)| f noe T 8ao才出宿丫：1（丫1-丫“）看皿rRiof（6分）（结果正确3分）V. （10 分）（3分）（3分）第一种做法：取a为，轴，b在（x,z）平面与包夹角为9(a OjXb-g2)= CTiz(sin0o2x + cos0o2z)由于ct2x = 1（在Sz表象）5z5zct2xct2xT。2 6V/2仅、T。2（在（J2z表象）（2分）（2分）（2分）（1分）ct1zct2x =0 而 ct1zct2z =-1 (a d)(b -a2) = -cosO = -a-b第二种做法：直接求(a - Ci)(b 与)=(ax5x + ayiy + »iziz)(bx2x + by。2y + bzzbz)=axx + ct1xct2x + axyCTlxCT2y + axzCTlxCT2z)+ 3ybxG,jyC2x +aybyOyO2y +3ybzG,|yG，2z) + azbxbz02x + abybizO2y + azbzbzO12z)x - ayby -azbz = -a b = -cos0第三种做法：（qa）（2卜）= i）（勺1 +勺25）口=一(J §)(b 5) + (乌 a)(a b)Q = 9i +2而五=0, a)(a2 b) = 一 a)(i b)=Ta-b + iO - (axb)但 CTj = 0 , A (Q1 a)(a2 - b) = -a - b量子力学自测题（20）一.回答以下问题（共30分，第1、2小题各10分，第3、4小题各5分）1、以下波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。（1）、Wi （%"） = 0（x）浦 +0（九）”帝 (1 )、 (x/) =2、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为，在动量表象中为。（万j），在力学量Q表象中为矩阵A”)=且它们都是归一化的，试指出，|C（p,t）|2与的物理意义，并分别写出用这三个波函数计算力学量F9,力平均值的表示式。3、己知=试问乙乙和乙是否一定不能同时测定？说明其原由或举例说人、）z明。4、量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？二、在动量表象中，求线性谐振子的能量本征函数（15分）三、（16分）在工 和 声 的共同本征态中，求4和£v的平均值。四.（25分）设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级目°）和艮°）,现在受到微扰方的 作用，体系的哈密顿算符为4E*，）+b aH二a E，）+b其中a, b为常数，用微扰公式求能量至二级近似和波函数一级近似，然后再用直接的方法 求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比拟。五、（14分）一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能 的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态构成？量子力学自测题（20）参考答案一.回答以下问题（共30分，第1、2小题各10分，第3、4小题各5分）1、以下波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。（1 ）、.（冗,。=0（x）浦 + 0（x）”普'（2）、夕2 （x/）=+（%）/'8如）22答: %（%,£）为非定态,因帆（x,=2,（%）| cos/与/有关。（5分）（2）为定态，因|2（x"）=2与，无关。 （5 分）2、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为（尸J）,在动量表象中为Cg）,在力学量Q表象中为矩阵%、a2A") =册(0且它们都是归一化的，试指出伍"2 ,|C（p9t）|2与|怎（42的物理意义，并分别写出用这三个波函数计算力学量F9,万）平均值的表示式。答：亿0|2t时刻粒子处在位置r处的概率。（2分）。（万,t时刻粒子的动量取p值的概率。（2分）（z）| t时刻测量粒子的力学量F,测得值为其本征值Fn的几率。（2分）歹二（，/）户（尸,尸（1分）F = C",。声（访，）C（a t）d3p（1 分）F =A+FAF =A+FA（2分）3、己知£x£ =，粒，试问乙、4和乂是否一定不能同时测定？说明其原由或举例说明。答：不一定不能同时测定。例如在儿（a。）状态中，A2V和乙可同时测定，它们的测量值均为零。（5分）4、量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?答：量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。（5分）二、（15分）在动量表象中，求线性谐振子的能量本征函数2 |Solve: . H -uco1 x12 2力 2i21在动量表象中H =/LICO1 HpJ2dp-2本征方程：区+ w(p) = Ew(p) 2/z dp 2/（2分）（3分）汇与以p）+ E-2E4 = = ap (oh令 a =1JLlCDtl、P1 夕(p) = o7（3分）（5分）d29)e)= ° aq该方程在-oc < J v oo区域上存在有限解的条件是要求4 = 2 + 1(n/. En = n + hcon9 L Ja2 2P本征函数：匕(p) = Ne 2 Hn(ap)归一化常数：Nn =归一化常数：Nn =、l/2 a五2*（2分）P2即匕（P）=e 23二、（15分）在动量表象中，求线性谐振子的能量本征函数2 “ 1 9 ?Solve: H -1LiCD x2 2本征方程：在动量表象中方=£/4+2 dp27 24 dp1 2juP2 (p) = E(p)（2分）（3分）工! (P)+ E-工! (P)+ E-24、P1 (p) = o7dp令 a =2E八嬴4apJLLCOhd2dd2dC)+(;iY2)c)= 0（3分）（5分）（2分）该方程在8 < J < 8区域上存在有限解的条件是要求2 = 2 + 1(oE； = n- hco本征函数：匕(p) = Ne 2 Hn(ap)/、l/2归一化常数：Nn =1上 （）即匕二KW'ISj能量一级修正：E=* =b E：）=b能量二级修正：耳"=Za1E（。）_ e（。）e（。） E（°）E（0） _ j7（0）“12a2能量二级近似：Ex = &+ &+ &=e0） +b +Cl?£（0） _ £（。）2e? = e黑+碎+曷幻=曷+b +设 泮）和为零级近似波函数，那么波函数一级近似+zm£（°）_ E£（°）_ £（°）2=湾）+Z 'niH：2（2分）（2分）（2分）（1分）（1分）（3分）（3分）人a直接计算：设H的本征矢为（夕）,本征值为E,那么本征方程为:（a6°）+b入司=E“、UJ=>E，）+b-EaE+b-E）y）（2分）欠期方程:+b-E aa E? +b E（3分）（同°）+b E）©）+b-E）-a2 =QE2 - E（E；°）+ 球）+ 2b） + （£；）+ b）（E +b）-a2 = 04 .给出如下对易关系：z,p= ?%,p= ?LX,LZ=?rlY ,S）=?%，b=?z 、 （尸，方/2）、5 .一个电子运动的旋量波函数为（乙sj= 八, 、，写出表示电子自旋向上、位置在尸处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。6 .何谓几率流密度？写出几率流密度/（/）的表达式。7 .散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理?8一维运动中，哈密顿量”='一+ V（x）,求x," = ?p," = ?2m二、 计算题（共60分。911题各10分；12、13题各15分）9 .在时间 = 0时，一个线性谐振子处于用以下归一化的波函数所描写的状态:以演0）=2（%）+ C3M3 （X）式中Un（X）是振子的第n个本征函数。（1）试求。3的数值；（2）写出在，时刻的波函数；（3）在 = 0时振子能量的期望值是多少？ 1 = 1秒时呢？10 . 为4的本征态，本征值为力。求在乙2的本征态|下，4和4的平均值。H.氢原子处于状态-21 几一叵R YC 八 21 1 10（1）求轨道角动量的Z分量的平均值;（2）求自旋角动量的z分量力的平均值;（3）求总磁矩用=-上工-§5的z分量M一的平均值。 2-6 + 以）+ 2b） ± 7（ + 以）+ 2与 2 - 4（耳°）+ /?）（琛）+ ） + 4/ E -能量一级修正:能量一级修正:碎）=能量二级修正:中二ZmH?,a2J7（°）_ k（°）/7（°）_ J7（°）"（°）_ /7（°）心 心机一 心2匚1一心2“126°）_ "（°）" _ 尸（°）A-/QHj 112j I能量二级近似:2&=耳。）+ 6+及2）= £（0） + b +摩二麽2& =球）+以+现2）=琢）+ b +硬二设玄和。为零级近似波函数，那么波函数一级近似乙=4°）+zm£（°）_ £（°）湾）%=湾）+2 'm，？=湾）+ 74°）（2分）（2分）（2分）（1分）（1分）（3分）（3分）人a直接计算：设”的本征矢为（八），本征值为E,那么本征方程为:B'E；。）+ ba 丫二、& a ©。）+"力'E；。）+ ba 丫二、& a ©。）+"力（a=E =>E；。）+b-E a y。、 、a £）+JS（2分）欠期方程:+b-E a a +b-E（3分）（£,）+b-E）©）+b-E）-a2 =QE2 - E（E；°）+ E：）+ 2b） + （4 + b）（E +b）-a2 = 0_ （咪 + 曷+ 2b） ± J（E（）+ 回6 + 26）2 4（e,）+ 匕）（邑。）+ 与 + 4/ E -(E，)+ 琢)+ 2b) ± J(E,)-磴)尸 +4+琢)+ 2b) 土。)-琢)产高不彳=I (E.(0) + 邑 + 2。) 土;(琛)-6°)(1 + 1 (2。) 2 + (2 分)ZZZ匕I -匕)（1分）（1分）可见，用直接解能量算符本征方程的方法，求得的本征能量值在泰勒级数展开的二级近 似下与微扰法得到的能量二级近似值一致五.（14分）一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能 的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？（2分）（孙，0，夕3）= %（%）%（%）2（%）（3分）解：体系的可能状态有4个:（3分）（3分） 2 ，/ 必）=/（/）。/（%）。/（%）/ )% (q?)%(g)+ %)% 3)% (0)% (%)%(0)丹2)J 3（名，% 应3）=百. （%）%（% ）% （夕3）+。, （夕2 ）% 3）% （孙）+量子力学自测题（21）1、一维运动的粒子在态（%）中坐标和动量%的平均值分别为x（）和p（）,求在态9（x） = eip（iX/hi/（x + 中坐标x和动量P1的平均值。2、一体系服从薛定用方程力22m（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）;3、设t=0时氢原子处在态+ V3r21_1（1）求体系能量的平均值；（2）任意t时刻波函数（/）； （3）任意t时刻体系处在/ = 1,%2 = 1态的几率；（4）任意t时刻体系处在根=0态的几率。4、一维谐振子受到微扰"=人作用，式中。为常数。在粒子数表象中,(h Y/2+x - (a +)2mco )分别为湮灭算符和产生算符，满足an>=n->a+ | n >= J. + 1 n + >（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比拟。5、设分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系= 体系的哈密顿量为H = Aaa+ Ba+a+ + Ca+a + D（1）问AB,。,。满足什么条件修才是厄密算符？ （2）求体系的能 量。1、一维运动的粒子在态(X)中坐标X和动量Px的平均值分别为与和Po,求在态0(x) = 6一%""(+工0)中坐标X和动量px的平均值。解：粒子在态(X)中坐标X和动量p x的平均值分别为+00x= jI/ (x)xi/(x)dx = x000Pxd、-iTi 一 i/(x)dx = p() dx J现粒子处在o(x)态，坐标x和动量px的平均值+00+00x = Jo"(x)x9(x)公二夕李if/ (x + %)x(x + x()dx-00+00-xi/xr)xr - xi/xr)dxf -xQ -x0 = 0-00-00+8CO+00(pxdx = j exlhco*3 )